贴着另一枚硬币旋转一周则自身转了两周：不同的解释方法

有一道非常经典的智力问题：假设有两个一模一样的硬币 A 和硬币 B ，如果让硬币 B 不动，让硬币 A 贴着硬币 B 旋转一周，那么硬币 A 自身旋转了多少周？一个常见的错误答案是“显然也是一周啊”，而实际上正确的答案是两周，如下图所示。我们有很多方法来解释这种现象，其中最传统的说法便是“公转了一周，自转了一周”。硬币 A 的运动是由两部分合成的，公转一周（想像一个人绕着地球走了一圈），以及自转一周（想像一个轮子在地面上滚动了一周）。想像你是站在硬币 B 中心处的一个小人儿，看着硬币 A 贴着你脚下的硬币转动一圈。如果在此过程中，你始终面向硬币 A ，那么在你看来，硬币 A 似乎就是在长为 2πr 的平地上滚了一圈。而实际上，在观察硬币 A 的过程中，你自己也原地转了 360 度，因此从外面的人看来，硬币实际上转了两周。

写了这篇文章后，我习惯性地开始用正多边形逼近的思路去分析一些与圆有关的一般性结论。在准备一份初中几何问题的材料时，我突然想到了上述问题的一个简单而漂亮的解释方法。

考虑一个正方形贴着另一个正方形旋转一周，你会发现，前者自身也旋转了两周。容易验证，对于正三角形和正六边形，情况也都是如此。这一定不是巧合，或许对于所有的正 n 边形，结论都同样成立。仔细一想，你发现这很容易理解：对于正 n 边形来说，每转过一个顶点，转过的角度都相当于正 n 边形两个外角的大小。转过 n 个顶点回到出发位置后，正 n 边形显然转过了两倍的外角和，也就是 720 度。因而，正 n 边形自身旋转了两周。当正多边形的边数趋于无穷多时可知，一枚硬币贴着另一枚硬币旋转一周，则这枚硬币自身也一定正好旋转了两周。