趣题：测量两根木棒长度的更优方案

这道题出自 Fifty Challenging Problems in Probability 一书中的第 49 个问题（有趣的是，这本书里其实一共有 56 个问题）。假设你有一个长度测量工具。在测量实际长度为 L 的物体时，由于不可避免的误差，你将会得到一个平均值为 L ，方差为 σ²的随机结果。现在有两根长度未知的木棒，你需要用两次测量得出每根木棒的长度，使得所得结果的误差尽可能的小。除了分别测量每根木棒的长度以外，还有没有什么更好的方案？

答案是肯定的。假设两根木棒的真实长度分别为 A 和 B ，其中 A > B 。把它们头尾相接摆在一起，测量 A + B 的长度；再把它们并排放在一块儿，其中一头对齐，测量 A – B 的长度。把这两次测量结果分别记作 S 和 D ，那么 (S + D) / 2 就是 A 的长度， (S – D) / 2 就是 B 的长度。

注意到，测量结果 S 实际上是一个以 A + B 为中心波动的随机数，测量结果 D 实际上是一个以 A – B 为中心波动的随机数。可以证明， (S + D) / 2 就将会是一个以 A 为中心波动的随机数， (S – D) / 2 就将会是一个以 B 为中心波动的随机数。但是，为什么这样一来，误差就比直接测量 A 和 B 更小呢？

不妨假设测量结果 S 的方差为 σ_S²，测量结果 D 的方差为 σ_D²，由于对于两个独立的随机变量来说，和的方差就等于方差的和，因此 S + D 的方差就是 σ_S²＋ σ_D²，进而 (S + D) / 2 的方差就是 (σ_S²＋ σ_D²) / 4 ，它等于 (σ²＋ σ²) / 4 ，也就是 σ²/ 2 ，这显然比单独测量一次 A 更好。那么 (S – D) / 2 呢？注意到 – D 和 D 的方差是一样的，因此 (S – D) / 2 ，或者说 (S + (- D)) / 2 ，其方差也是 (σ²＋ σ²) / 4 = σ²/ 2 ，显然也优于单独测量 B 的结果。

利用上面这种分析误差的模型，可以很好地解释为什么“多次测量求平均值”可以减小误差：在给 n 次测量结果之和除以 n 的时候，测量结果的方差也降为了原来的 1 / n 。而今天这个问题的“和差测量方案”巧妙就巧妙在，仍然只用两次测量，却同时给两根木棒的长度都提供了方差减半的机会，最终达到的精度相当于是为每根木棒各测量了两次。

对于一组独立的随机变量，和的方差就等于方差的和。这是一个非常重要的结论，它还有很多有趣的应用。这里则是另一个我很喜欢的例子：https://www.cdsy.xyz/study/readingroom/221121/cd38143.html。