趣题：构造一个[0,1]到(0,1)的一一映射

网友Gestorm在TopLanguage(http://groups.google.com/group/pongba/browse_thread/thread/c4c10095393e464d)里问到，如何构造一个[0,1]到(0,1)的一一映射。两个集合的势显然相等，它们之间一定有一个一一对应的函数。注意到(0,1)是[0,1]的子集，利用Cantor-Bernstein-Schroeder定理，只要我们能找到一个从[0,1]到(0,1)的单射函数，我们便找到了两个集合间的双射函数（因为上述定理的证明是构造性的）。这非常简单，例如f(x)表示x与0.5的平均数即可。考虑上述定理的Julius König证明，我们立即得到一个[0,1]到(0,1)的一一映射：f(0)=1/4, f(1/4)=3/8, f(3/8)=7/16, …，不断进行(x+1/2)/2的迭代；同样地，f(1)=3/4, f(3/4)=5/8, f(5/8)=9/16, …；对于其它所有未定义到的x，f(x)=x。这个函数显然是双射的。

仔细观察这个函数。当你领会到这个函数的真谛时，你突然恍然大悟：我可以用类似地办法弄出无穷多个[0,1]到(0,1)的一一映射。例如，最简单的便是f(0)=1/2, f(1)=1/3；然后f(1/2)=1/4, f(1/3)=1/5, f(1/4)=1/6, …, f(1/i)=1/(i+2)；对于其它未定义的x，f(x)=x。