趣题：同时等分三角形周长和面积的直线

求证：对于任意一个三角形，一定存在一条直线，它把这个三角形的周长和面积同时分成了两等分。

大家知道，三角形的三个内角的角平分线一定交于一点，这个点就是三角形的内心，它到三角形三边的距离是相等的。一个令人吃惊的结论是，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长！

如图， I 是三角形 ABC 的内心， ID 、 IE 、 IF 是 I 到三角形三边的垂线段，它们的长度是相等的，不妨把这个长度值记作 r 。假设直线 PQ 经过点 I ，并且平分三角形的面积。这说明， PA · r / 2 + AQ · r / 2 = PB · r / 2 + BC · r / 2 + CQ · r / 2 ，也就是 PA + AQ = PB + BC + CQ 。因此，直线 PQ 也平分了三角形 ABC 的周长。

如果对于任意一个三角形，都存在一条经过内心并且平分面积的直线的话，我们的问题就解决了。事实上，对于任意一个三角形，以及三角形内的任意一个定点，都存在一条经过该点并且平分面积的直线的。这很容易看出来。首先，过该定点随便作一条直线。如果这条直线正好平分了三角形的面积，问题就直接解决了。否则，将这条直线绕着定点旋转 180 度，你会发现它回到了原来的位置，但是直线左侧的面积和直线右侧的面积却颠倒了过来。这意味着，假设最开始的时候，直线左侧的面积小于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将大于整个三角形面积的1/2；反过来，假设最开始的时候，直线左侧的面积大于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将小于整个三角形面积的1/2。然而，在旋转过程中，直线左侧的面积始终在发生连续的变化，因此必然有一刻，直线左侧的面积正好等于三角形面积的1/2。这就是一条平分三角形面积的直线。根据前面的结论，它也就同时平分了周长。

我们不妨把一个三角形中，既平分周长又平分面积的直线叫做“均分线”。有的读者或许会很快发现，在一个三角形中，这样的均分线很可能不止一条。如下图，假如 PQ 是一条均分线，那么把 PQ 沿着图中所示的角平分线翻折到 P’Q’ ，容易证明三角形 PIQ’ 和 P’IQ 是全等的，于是线段 PQ’ 和线段 P’Q 的长度相等，并且两个三角形的面积相等。因此，原来 AP + AQ 是三角形周长的一半，现在 AP’ + AQ’ 仍然是三角形周长的一半；原来三角形 APQ 的面积是整个三角形面积的一半，现在三角形 AP’Q’ 的面积仍然是整个三角形面积的一半。可见， P’Q’ 也将是一条均分线。因此，这个三角形至少有两条均分线。

对于一些更特殊的三角形来说，均分线可能还会更多，例如在一个等边三角形当中，均分线至少有三条（它们也就是等边三角形的三条对称轴）。1997 年， George Berzsenyi 曾经猜想，一个三角形最多只能有三条均分线。这个猜想是正确的吗？ 2010 年 4 月， Dimitrios Kodokostas 在 Mathematics Magazine 上发表了一篇题为 Triangle Equalizers 文章，完美地解答了这个问题。

刚才我们证明了，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长。根据同样的道理，经过内心的直线如果平分了三角形的周长，就一定平分了三角形的面积。事实上，我们可以证明，三角形的均分线是一定经过内心的。假如下图中的直线 PQ 是一条不过 I 点的均分线，由于 BP + BQ 等于三角形周长的一半，因而三角形 BPI 的面积加上三角形 BQI 的面积就是整个三角形面积的一半，这与三角形 BPQ 的面积是一样的，可见 I 一定在直线 PQ 上。

因此，为了计算均分线的数目，我们只需要考虑过内心的直线就行了。受到前面“旋转法”的启发，我们尝试着去确定，在直线绕着内心旋转的过程中，直线两侧的面积究竟将会经历怎样的起伏变化？

除了三处例外点以外，这条直线通常会把整个三角形分成一个小三角形和一个四边形。一个非常有用的结论是，若这条直线与任意一条角平分线垂直时，小三角形的面积会达到极小值，四边形部分的面积会达到极大值。为什么呢？看上面这个图，假设 AD 是三角形的一条角平分线， PQ 垂直于 AD 。如果把 PQ 旋转到 XY 的位置，三角形 APQ 就变成了三角形 AXY ，下面我们来说明，这样变了之后，面积一定变大了。过点 P 作 AC 的平行线，与 XY 交于点 Z 。容易证明，图中的两个红色三角形全等，因此三角形 AXY 的面积比三角形 APQ 的面积更多，多了图中蓝色三角形那么大的面积。事实上，蓝色三角形的面积为 (1/2) · PX · PZ · sin∠XPZ = (1/2) · PX · YQ · sin∠BAC ，随着直线的继续转动，这是会不断增加的。当然，如果让 PQ 逆时针旋转，结果也是一样的：与 A 点构成的三角形面积会单调递增，与 B 、 C 两点构成的四边形面积则会单调递减。

因此，在直线绕着内心 I 旋转 180 度的过程中，一共会经过上图所示的六个关键节点：三条角平分线（红色表示），以及三条与角平分线垂直的线（蓝色表示）。假设直线从 X₁Y₁出发，按照 X₁Y₁→ BE → X₂Y₂→ DA → X₃Y₃→ CF → Y₁X₁的顺序旋转 180 度。如果我们把刚开始直线的上方叫做它的左侧，那么在旋转的过程中，左侧的面积会怎么变化？刚开始的时候，直线左侧的面积是图中黄色部分的面积。从 X₁Y₁到 BE ，直线左侧的面积不断增大；从 BE 到 X₂Y₂，直线左侧的面积继续增大，并且达到极大值；从 X₂Y₂到 DA ，直线左侧的面积开始缩小；从 DA 到 X₃Y₃，直线左侧的面积继续缩小，并且达到极小值；接下来，直线左侧的面积又重新开始变大，最后变成图中的绿色面积。

因此，一个典型的面积变化曲线如下图所示，其中横轴表示直线旋转过的度数，纵轴表示直线左侧面积占整个三角形面积的比例。由于这条曲线只有三个单调区间，因此这条曲线与 y = 1/2 最多只有三个交点。换句话说，最多只有三个时刻，直线左侧的面积等于整个三角形面积的一半。这说明，三角形的均分线最多只有三条。 Berzsenyi 的猜想是正确的。

前面我们已经说过，事实上，三角形的均分线确实是有可能达到三条的，等边三角形就是最简单的例子。那么，是否每个三角形都有三条均分线呢？不见得。有些三角形就只有两条均分线。如果刚开始的时候，直线左侧的面积恰好是 1/2 ，那么面积变化曲线将会从 1/2 开始，上升，下降，再回到 1/2 。于是，整条曲线和 y = 1/2 只有两个交点，三角形就只有两条均分线了。

为了给出一个确凿的例子，我们需要找出一个满足要求的三角形。比方说上图中的等腰三角形，如果三角形 APQ 和三角形 ABC 的相似比是 1 : √2，那么刚开始直线左侧的面积就是 1/2 了。这要求 AI : AD = 1 : √2，即 AI : ID = 1 : (√2– 1) ，即 AI : IE = 1 : (√2– 1) 。此时， ∠IAE = arcsin(√2– 1) ，三角形 ABC 中的 ∠A 则是 2 arcsin(√2– 1) 。根据前面的讨论，这个三角形就只有两条均分线。

现在，保持 AB = AC 不变，继续缩小 ∠A 的度数，此时 ∠IAE 的正弦值会进一步缩小，从而让 AI 与 IE 之比（也就是 AI 与 ID 之比）进一步扩大，其结果就是，三角形 APQ 的面积大于整个三角形面积的 1/2 。这样的话，面积变化曲线将会从某个大于 1/2 的值出发，上升后再下降，最后再上升到一个小于 1/2 的、与初始值对称的位置。这条曲线将会仅与 y = 1/2 相交一次，因而三角形就只有一条均分线了。

最终，我们得到了一个完整的结论：一个三角形里至少有一条均分线，最多有三条均分线，并且实际数目有可能是 1 条、 2 条或者 3 条中的任意一个。

Dimitrios Kodokostas 还细致地讨论了三角形的均分线数量的判别条件，有兴趣的朋友可以查阅一下。如何用尺规作图作出三角形的均分线，这也是一个很有挑战性的问题。对这个问题感兴趣的读者可以看看这里：http://goo.gl/ZOpQH。