趣题：上哪儿找一个含60度的三角形？

四边形 ABCD 是一个正方形，在 BC 上取一个点 M ，在 CD 上取一个点 N ，使得 BM = CN 。连接 AM 、 AN ，与对角线 BD 分别交于 P 、 Q 两点。求证： BP 、 PQ 、 QD 三条线段一定能组成一个三角形，并且这个三角形的其中一个角等于 60° 。

其中一种思路就是，借助一些辅助线，在图中弄出一个含 60 度的三角形来，并说明它的三边长度就是 BP 、 PQ 、 QD 。但问题的难点就是，我们上哪儿找一个含 60 度的三角形？在很多平面几何问题中，把图形扩展到三维空间中去，反而会带来意想不到的突破（可以参见这里和这里）。现在，我们又有了一个绝好的例子。

如图，作一个边长与正方形相等的正方体 A₁B₁C₁D₁– A₂B₂C₂D₂，在 A₁B₁上截取 A₁M’ = BM ，在A₁D₁上截取 A₁N’ = DN 。假设 A₁B₂和 A₂M’ 交于点 P’ ， A₁D₂和 A₂N’ 交于 Q’ 。注意到三角形 A₁B₂D₂的三条边都相等，因而它是一个等边三角形， ∠B₂A₁D₂= 60° 。如果图中阴影三角形的三边长度分别等于 BP 、 PQ 和 QD ，问题就解决了。显然， A₁P’ = BP ， A₁Q’ = QD ，因此我们只需要说明 P’Q’ = PQ 。

容易证明， M’N’ = MN ， A₂M’ = AM ， A₂N’ = AN ，因此三角形 A₂M’N’ 和三角形 AMN 全等，于是 ∠M’A₂N’ = ∠MAN 。另外，容易看出 A₂P’ = AP ， A₂Q’ = AQ ，而刚才我们已经证明了 ∠M’A₂N’ = ∠MAN ，于是三角形 A₂P’Q’ 与三角形 APQ 全等。于是， P’Q’ = PQ 。

题目出自单遵《平面几何中的小花》。