趣题：空间四边形外切于给定球，求证四切点共面

多年以前，要想进入莫斯科国立大学的数学系，你必须通过四项入学考试；头两个都是数学考试，一个笔试，一个面试。在面试中，学生和考官都是一对一的，考官可以自由向学生提出任何他喜欢的问题。那时，为了筛选出他们不想要的应试者（主要是犹太人），很多考官都会出一些题目描述简单有趣、解答过程极其巧妙而又出人意料的问题。这些问题极具杀伤力，民间戏称其为“棺材问题”(coffin problems)。下面这个问题就是其中一个“棺材问题”：

考虑一个空间四边形A1A2A3A4，它的四条边A1A2, A2A3, A3A4, A4A1都与一个给定的球相切。求证，这四个切点共面。

为了更好地理解这个问题，考虑一个菱形的钢架沿对角线折叠，或者一个正四面体钢架去掉相对的两条棱。把这个空间四边形当成一个碗去接一个球，你会发现这个球卡在空间四边形中掉不下去了，此时它与四条边都相切。凭借我们的生活经验，我们很容易提出这个猜想：四个切点是共面的。

这个问题最简单的解决办法竟然是借助物理学中重心的性质。我们曾经见过一道用重心来解决的几何问题，但这里你将看到的绝对更加经典。它们的基本方法都是一样的：给每个顶点分别挂上一个指定重量的砝码，然后利用“用部分质点的重心去替换这些质点，整个系统的重心不变”这一性质来解决问题。

注意到球外一点向该球任意引切线，该点到所有切点的距离都是相等的。这是这个问题的核心，是整个证明过程中唯一用到了“球”这个条件的地方。假设从Ai向球引切线，Ai到切点的距离为Di。我们就在点Ai处挂上1/Di的重物。观察边A1A2，它们可以等价地用一个质量为1/D1 + 1/D2的点M代替，其中M的位置满足杠杆原理A1M / D1 = A2M / D2。考虑D1和D2的定义，这个M显然就在A1A2与球的切点位置上。我们把边AiAj与球的切点记作点Tij，于是四个切点T12, T23, T34, T41分别是对应的四条边A1A2, A2A3, A3A4, A4A1的重心。为了求出整个系统的重心，我们可以用T12代替A1和A2，用T34代替A3和A4，则整个系统的重心应该在T12和T34的连线上；但我们的“配对”方法不止这一种啊，我们为啥不用T23代替A2和A3，用T41代替A4和A1呢？这样，整个系统的重心就在T23和T41的连线上。但是，整个系统的重心是唯一的，于是T12、T34的连线和T23、T41的连线必然相交（交点即为整个系统的重心）。而相交的两条直线确定一个平面，T12, T23, T34, T41都在这个平面上。这就说明了四个切点是共面的。

参考资料：http://www.cut-the-knot.org/blue/3DQuadrilateral.shtml