怎样把一个钝角三角形分成若干个锐角三角形

这是我最喜欢的几何谜题之一：你能否在纸上画一个钝角三角形，然后把它分割成若干个锐角三角形？令人难以置信的是，这竟然是可以办到的！继续看下去之前，大家不妨先自己想一会儿。

每次我在课堂上提出这个问题的时候，学生们总会疯狂而盲目地进行尝试。根据我的观察，绝大多数人都会先画一个不那么钝的钝角三角形（其实这本质上并不会简化我们的问题），然后作出一系列类似于图 1 的尝试，但最后都以失败告终。此时我往往会反复强调：要有方法啊，要有方法！首先，想必很多人已经注意到了，我们必须在钝角里引出一条线（如图 2 所示），这样才能把钝角给消除掉。接下来，则是很少有人意识到的一点：我们不能让这条线一直延伸到对边，否则原三角形将会被分成一个锐角三角形和一个钝角三角形（或者两个直角三角形），这并不能解决根本问题。也就是说，这条线在到达对边前就必须得分岔。最后一个关键的问题就是，分成几岔？显然，分成三岔（如图 3 所示）是不够的，因为这样只能把一个周角分成四份，它们不可能都是锐角。为了让所有的角都是锐角，我们至少要让这条线分成四岔（如图 4 所示）。最后，再把一些没有连起来的点连起来，我们就得到一个像模像样的答案了（如图 5 所示）。

有的读者或许会说，等等，等等，你怎么敢肯定，图 5 中的每个小三角形都是锐角三角形呢？其实，我也不敢肯定。不过，我并没有说图 5 就是最终的答案。为了证明确实有一个钝角三角形能被分成若干个锐角三角形，我们需要给出一个确凿的、能供他人进行验证的例子。图 5 并不是一个确凿的例子，但它给我们提供了构造这种例子的思路，或者更贴切地说，构造这种例子的模板。借助这个模板，我们很容易得到下面这种构造方案。

如图，首先，画一个正五边形 ADEFG 。然后，找出它的中心 O ，将它分别与 A 、 D 、 E 、 F 、 G 相连。最后，延长 AD 和 FE 并交于点 B ，延长 AG 和 EF 并交于点 C 。那么，整个大三角形 ABC 将会成为一个顶角为 108° 的等腰三角形。这就是一个绝对让人信服的例子，我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数，从而说明每个小三角形的确都是锐角三角形。

那么，能否把任意一个钝角三角形都分割成若干个锐角三角形呢？这下子，问题就变得复杂得多了。为了给出一个肯定的答案，我们必须想出一种能够适用于所有钝角三角形的通用分割方案，并且证明由此产生的小三角形确实都是锐角三角形。这个有名的问题最早出现在 1960 年 3 月的 The American Mathematical Monthly 上，同年 11 月，美国的一位中学数学老师 Wallace Manheimer 给出了下面这个解答。

如图，假设 △ABC 中， ∠BAC 是钝角。作出 △ABC 的内心 I 以及内切圆，将 BI 、 CI 与圆的交点分别记作 M 、 N 。过点 M 作圆的切线，分别与 AB 、 BC 交于 D 、 E ；过点 N 作圆的切线，分别与 AC 、 BC 交于 G 、 F 。最后，把 D 、 E 、 F 、 G 都和内心 I 相连，我们就把整个大三角形分成了 7 个小三角形。

现在，我们来证明，这些小三角形都是锐角三角形。由于圆的半径垂直于切线，因此 BI⊥DE ；同时， BI 又是 ∠B 的角平分线，因此 △BDE 就是一个等腰三角形。等腰三角形的两个底角一定都是锐角，而这个等腰三角形的顶角 ∠B 也是一个锐角，因此它就是一个锐角三角形。类似地， △CGF 也是一个锐角三角形。另外，五边形 ADEFG 的每个角都是钝角，而容易看出 AI 、 DI 、 EI 、 FI 、 GI 正好都是这些钝角的角平分线，它们把每个钝角都分成了两个大于 45 度的锐角。然而，如果一个三角形有两个大于 45 度的锐角，这个三角形就一定是锐角三角形。因此，五边形 ADEFG 里的五个小三角形也都是锐角三角形了。这样，我们便得到了一种把任意钝角三角形分成 7 个小锐角三角形的方法。

1961 年，美国数学家 Verner Hoggatt Jr. 在 The American Mathematical Monthly 上发表了一篇论文，给出了一个更出人意料的结论：不但任意一个钝角三角形都能被分割成若干个锐角三角形，而且任意一个钝角三角形都能被分割成若干个等腰锐角三角形（即使这个钝角三角形本身不是等腰的）！让我们来看一看他是怎么做到的。

如图，仍然假设 △ABC 中， ∠BAC 是钝角。还是作出 △ABC 的内心 I ，还是以 I 为圆心，不过这一次，让我们以 IA 为半径作圆。这个圆一定会和 △ABC 交于另外四个点，不妨依次记作 D 、 E 、 F 、 G （注意，这四个交点为什么一定存在，这是需要严格说明的，不过这里我们暂且略去）。显然， IA = ID = IE = IF = IG ，因而圆里的五个小三角形都是等腰三角形。过 I 作三角形三边的垂线段 IH₁、 IH₂、 IH₃，由于内心 I 到三角形三边的距离都相等，因此 IH₁= IH₂= IH₃。那么， △IAD 、 △IAG 、 △IEF 就成为了这么一组等腰三角形，它们拥有相同的腰长，并且底边上的高也都相等。由此可以推出，它们是一组全等三角形。另外，容易证明 △BIH₁和 △BIH₃全等，于是 BH₁= BH₃；同时， EH₁也是等于 DH₃的，因而 BE 是等于 BD 的，可见 △BDE 是一个以 B 为顶点的等腰三角形。根据同样的道理， △CFG 也是一个以 C 为顶点的等腰三角形。由此可知，图中的所有小三角形都是等腰三角形。

不过，为什么每个小三角形都是锐角三角形呢？别忘了，等腰三角形的两个底角一定都是锐角，因此，我们只需要说明每个小三角形的顶角也都是锐角就行了。 ∠B 和 ∠C 都是锐角，因而 △BDE 和 △CFG 都是锐角三角形了。不难算出， ∠AID 和 ∠AIG 都等于 180° – ∠BAC ，因而 △IAD 和 △IAG 也都是锐角三角形了。 △IEF 和它俩全等，自然也是一个锐角三角形。那么， △IDE 和 △IFG 呢？仔细算一算你会发现， ∠DIE = ∠BAC – ∠B ， ∠FIG = ∠BAC – ∠C ，我们不能保证它们都是锐角。因此，最终我们只得到了一个暂时还不太完美的结果：如果三角形 △ABC 中， ∠A 是钝角，并且 ∠A – ∠B 和 ∠A – ∠C 都小于 90°，那么我们就可以把它分割成 7 个等腰锐角三角形。

如果 ∠A – ∠B 和 ∠A – ∠C 当中至少有一个大于等于 90° ，分割方案就会失效，这时又该怎么办呢？ Verner Hoggatt Jr. 想到了极其聪明的一招。如图，仍然假设 ∠BAC 是钝角。剩下的两个角 ∠B 和 ∠C 都是锐角。不妨假设其中 ∠B ≤ ∠C 。我们先在 BC 上截取 BD ，使得 BD = BA （由于大角对大边， BC > BA ，因此这是一定能办到的）。 △BAD 便成了一个以 B 为顶点的等腰三角形。由于顶角 ∠B 是锐角，因而 △BAD 是锐角三角形。有人或许会说，刚才不是说过，这样不能解决根本问题吗？ △DAC 仍然是一个钝角三角形呀？不过，这次就不一样了： △DAC 将会满足， ∠1 – ∠2 和 ∠1 – ∠3 都小于 90° ！这是因为：

∠1 – ∠2 = (180° – ∠4) – ∠2 = (180° – ∠5) – ∠2 = 180° – (∠5 + ∠2) = 180° – ∠BAC < 90°

并且由 ∠B ≤ ∠C 可知：

∠1 – ∠3 ≤ ∠1 – ∠B = (180° – ∠4) – ∠B = 180° – (∠4 + ∠B) = ∠5 < 90°

套用刚才的分割方案，我们就可以把 △DAC 分成 7 个等腰锐角三角形，从而把整个三角形 △ABC 分成 8 个等腰锐角三角形了。到此为止， Verner Hoggatt Jr. 就完整地证明了，任意一个钝角三角形都可以被分成最多 8 个等腰锐角三角形。

从最初的问题出发，我们还可以提出很多其他的扩展问题。比方说，一个正方形最少能被分成多少个锐角三角形？数学趣题大师 Martin Gardner 曾经考虑过这个问题。他“想了好几天，一度以为分成 9 个是最少的，然后就突然想到了一种分成 8 个的方法”，如上图所示。他觉得 8 个锐角三角形应该是最少的了，但却不能证明这一点。随后，数学圈子里出现了好几个严密程度不同的证明。值得一提的是，这个问题还曾经作为一道题目，出现在了 1967 年的 IMO 候选题里。

同样地，我们也可以问，一个正方形最少能被分成多少个等腰的锐角三角形？我们可以先像上图那样把正方形分成四个等腰三角形。其中三个等腰三角形已经是锐角三角形了，利用 Verner Hoggatt Jr. 的方法则可以把最下面那个钝角三角形分成 8 个等腰锐角三角形，于是最终把正方形分成了 11 个等腰锐角三角形。然而，注意到最下面那个钝角三角形其实本来就是等腰的，这对于我们来说非常有利；或许把它分成等腰锐角三角形时，分成 8 个并不是必需的。事实上，利用下图所示的方法，我们可以把它分成 7 个等腰锐角三角形，因而最终把正方形分成了 10 个等腰锐角三角形。不过， 10 个究竟是不是最少的，这似乎还有待进一步探讨。

类似地，对于任意矩形，或者任意凸四边形，或者任意四边形，或者任意 n 边形来说，如何把它们分成尽可能少的锐角三角形，或者把它们分成尽可能少的等腰锐角三角形，这些问题都还有待继续研究。在计算机图形处理中，我们往往需要对图形进行三角剖分；如果所有三角形都是锐角三角形的话，这会给我们带来很多有用的性质。因此，直到现在，人们仍然有足够的动机和热情去研究图形的锐角三角形剖分。关于最近几年这方面的一些进展以及仍然有待解决的问题，可以参见 Carol Zamfirescu 的这篇论文：Survey of two-dimensional acute triangulations。