趣题：正方形能被画成什么样？

房间的正中间悬浮着一个正方形的金属框。五位画家看到这般奇迹后，立即拿出纸和笔，把这个金属框的样子画了下来。但是，由于五位画家观察这个金属框的角度不同，它们画出来的结果也互不相同。请问，这五位画家画出来的结果都是对的吗？换句话说，有没有哪一幅图或者哪几幅图根本不可能是一个正方形的透视图？

首先，我们简单解释一下透视图背后的数学模型。假设人眼和实物之间有一个矩形的画布。将实物中的任意一点 X₀与人眼相连，都会与画布有一个交点 X ，那么在人眼看来，实物上的 X₀点和画布上的 X 点是完全重合的。我们就说，这个 X 点是 X₀点在画布上的像。把实物中的每一个点在画布上的像都描出来，我们就能得到实物在这块矩形画布上的透视图了。假设实物上有一条线段 A₀B₀，那么人眼、 A₀点、 B₀点就确定了空间当中的一个平面。由于线段 A₀B₀上的任意一点与人眼的连线都在这个平面上，因而这条线段的像一定在这个平面与矩形画布的交线上。这说明，任意一条直线在画布上的像仍然是一条直线。

在这个意义下， A 、 B 、 C 、 D 、 E 这五幅图究竟画得对不对呢？我们先来说明，图 D 和图 E 是对的。事实上，我们将会证明，任意一个两组对边都不平行的凸四边形 ABCD 都可以看作是从某个角度观察正方形所得到的透视图。假设这个四边形的对角线 AC 和 BD 交于点 O ，再假设它的两组对边分别交于点 P 和点 Q ，如下图所示。过点 A 作平行于 PQ 的直线 l ，令 PO 、 QO 、 BD 所在直线分别与直线 l 交于 M 、 N 、 S 。现在，过直线 l 作与四边形 ABCD 所在平面垂直的平面 γ 。分别以 AS 、 MN 为直径，在平面 γ 上作半圆，两个半圆交于点 O₀。过 PQ 所在直线也作一个与四边形 ABCD 所在平面垂直的平面 π ，显然平面 π 和平面 γ 平行。反向延长 OO₀，与平面 π 交于点 Z 。延长 ZB 、 ZC 、 ZD ，与平面 γ 交于 B₀、 C₀、 D₀。根据刚才讲到的透视图理论，如果人眼在 Z 处观察平面 γ 上的四边形 AB₀C₀D₀，得到的就是四边形 ABCD 了。下面我们证明，四边形 AB₀C₀D₀是一个正方形。

首先注意到， Z 、 B₀、 C₀构成了一个平面，且线段 QCB 也在这个平面上。这个平面与 γ 交于 B₀C₀，与 π 交于 ZQ 。然而，平面 γ 和平面 π 是平行的，这就说明 B₀C₀与 ZQ 平行。同理， AD₀也与 ZQ 平行。既然 B₀C₀和 AD₀都与 ZQ 平行，因此 B₀C₀与 AD₀互相之间也是平行的。

类似地，我们可以说明 D₀C₀和 AB₀都与 ZP 平行，因此 D₀C₀与 AB₀互相之间也是平行的。这说明，四边形 AB₀C₀D₀是一个平行四边形。在透视图中， B 、 O 、 D 在一条直线上， A 、 O 、 C 也在一条直线上；因此，在实物中， B₀、 O₀、 D₀在一条直线上， A 、 O₀、 C₀也在一条直线上。这意味着， O₀是平行四边形 AB₀C₀D₀的中心。

线段 QON 和 ZOO₀确定了一个平面，这个平面与 γ 和 π 分别交于 NO₀和 ZQ ，再次结合 γ ∥ π 便可得出， 线段 NO₀平行于 ZQ ，从而也就平行于 B₀C₀、 AD₀了。同样地，线段 MO₀平行于 ZP ，从而也平行于 D₀C₀、 AB₀。然而，由于直径所对的圆周角为 90° ，因此 ∠MO₀N = 90° ，即 NO₀与 MO₀垂直。这说明平行四边形 AB₀C₀D₀的两组对边互相之间也是垂直的，进而说明这个平行四边形实际上是一个矩形。

最后注意到，在透视图中， O 、 B 、 S 在一条直线上，因此在实物中， O₀、 B₀、 S 也在一条直线上。由于直径所对的圆周角为 90° ，因此 ∠AO₀S = 90° ，即 ∠AO₀B₀= 90° 。考虑到 O₀是平行四边形 AB₀C₀D₀的中心，因而 ∠AO₀B₀= 90° 就意味着这个平行四边形的对角线互相垂直。这说明，这个平行四边形实际上是一个菱形。

把上面两段的结论结合起来，我们便得到了，四边形 AB₀C₀D₀的确是一个正方形。这表明，任何一个两组对边都不平行的凸四边形，比如图 D 和图 E ，都可以看作是某个正方形的透视图。

利用前面的这些技巧，我们很快可以说明，任何一个梯形，比如图 C ，也都可以看作是某个正方形的透视图。事实上，我们几乎可以把刚才的构造原封不动地套用在梯形上，只不过点 B 、点 B₀、点 S 重合在了一起，并且点 P 和点 M 跑到了无穷远处。整个构造过程也大大简化了。假设 AD 与 BC 交于点 Q ， AC 与 BD 交于点 O ，延长 QO 与 AB 交于点 N 。过 AB 作与四边形 ABCD 所在平面垂直的平面 γ ，过 Q 作平行平面 π 。此时，以 AS 为直径的半圆也就变成了以 AB 为直径的半圆，以 MN 为直径的半圆也就变成了过点 N 且垂直于 AB 的直线，令两者的交点为 O₀。反向延长 OO₀，它与 π 的交点便是人眼的位置 Z 。延长 ZC 、 ZD ，分别与平面 γ 交于 C₀、 D₀，则四边形 ABC₀D₀即为所求。

为什么 ABC₀D₀一定是正方形呢？证明方法和刚才几乎完全相同，只不过更简单一些。这里，我们就不重复叙述了。

现在，我们已经证明了，图 C 、图 D 、图 E 都是正确的透视图。那么，图 A 和图 B 呢？图 A 显然也是正确的透视图。如果把正方形金属框平行地放在画布的一侧，人眼在画布另一侧的任意位置，那么容易看出，这个正方形里的每条线段，包括对角线，都与它在画布上留下的像平行。于是，原正方形的两组对边分别平行，像的两组对边也分别平行；原正方形的邻边是互相垂直的，像的邻边也是互相垂直的；原正方形的对角线是互相垂直的，像的对角线也是互相垂直的。这足以说明，画布上像也是正方形。容易想到，事实上，把任意平面图形搬到一个与之平行的画布上，不管人眼的位置在哪里，所得到的都是这个平面图形的一个相似形。

下面我们说明，图 B 不可能是某个正方形的透视图。注意到图 B 的特征：每一组对边经过透视之后都仍然是平行的。我们来看一看，如果实物上的平行线在画布上也是平行的，这意味着什么。

假设 l₀、 m₀是实物上的两条平行线， Z 是人眼的位置。那么， Z 和 l₀确定了一个平面， Z 和 m₀也确定了一个平面。不妨把这两个平面分别叫做 α 和 β ，它们的交线为 i 。容易看出， i 与 l₀、 m₀都平行。再假设 l₀、 m₀在画布上的像分别是 l 、 m 。容易看出， l 和 m 所在的直线其实就是画布与 α 和 β 的交线，它们的交点也就是画布与 i 的交点。所以，为了让 l 和 m 平行，即为了让 l 和 m 不相交，我们必须保证画布和 i 也不能相交，即画布和 i 平行，即画布和 l₀、 m₀都平行。

如果正方形的第一组对边经过透视之后仍然是平行的，这就说明画布平行于第一组对边；如果正方形的第二组对边经过透视之后仍然是平行的，这就说明画布平行于第二组对边。可见，此时画布将会平行于整个正方形所在的平面。但是，我们刚才说过，这种情况下，画布上显示的应该是一个正方形。

所以，正方形的透视图要么是一个正方形，要么是一个至少有一组对边不平行的四边形。所以，图 A 、图 C 、图 D 、图 E 都是合法的正方形透视图，图 B 则不是一个正方形的透视图。

在刚才的文字中，我们避免使用了消失点、消失线等词，但很多地方实际上都触及了这些概念。如果你对这些概念非常熟悉的话，你会发现前面那些神一般的构造其实来得都很自然，而且论证过程也不必如此大费周章。利用一些与仿射变换、射影变换相关的知识，这个问题的解答还可以变得更加简单。这篇文章部分参考了 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution 一书中的第 72 题，同时也参考了 Analytic Projective Geometry 一书中的附录 A ，但完整而初等的解答过程则是自己整理出来的，若有问题，还请大家及时指正。

在写这篇文章的时候，我还做了一个消失点的演示动画，用于更直观地展示 Wikipedia 上的这张图(https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vanishing_Point.jpg)的意思，但最后并没有用到。想着觉得有点可惜，因此还是放上来吧。

这个动画表明，如果实物上有 l₀, m₀, n₀, … 等一系列无限长的平行线，那么它们在画布的像 l, m, n, … 将会交于一点（即使这些平行线之间的间隔很稀疏，即使这些平行线被平移到了人眼侧方很远的位置）。这个点就叫做这些平行线的“消失点”（vanishing point）。这个消失点究竟在哪儿呢？我们很容易把它找出来。过人眼作出与这些平行线都平行的线，它与画布的交点就是消失点。由此可见，如果画布本身就与这些平行线平行，消失点就不存在了。此时，这些平行线在画布上的像不会交于一点，而是依旧呈现出彼此平行的形态。

在描绘机器、建筑等物体时，我们经常会发现，物体上有三组平行线，它们分别与 X 轴、 Y 轴、 Z 轴平行。如果画布所在的平面与 X 轴、 Y 轴、 Z 轴都不平行，那么对于每一组平行线来说，把它们画在画布上并且延长之后，都应该汇聚于一点。这就是美术当中的三点透视原理。如果画布与某条轴平行，那么其中一组平行线的像将会依旧平行，不会形成任何消失点。这种绘画模式就叫做两点透视。如果画布与其中两条轴都平行，那么其中两组平行线的像都将会依旧平行，只剩下一组拥有消失点的平行线。这种绘画模式就叫做一点透视。刚才我们曾让画布与直线 i 平行，这样做的效果就是减去一个消失点，从而把三点透视变为两点透视，或者把两点透视变为一点透视。

消失点还有另一个更加直观的意义：呈现出一条直线是如何消失在无穷远处的。直线 l₀在画布上的消失点，其实就是直线 l₀的无穷远点在画布上所对的点。类似地，如果实物上有一个无限大的平面，那么它的无穷远处就对应于画布上的一条线。这条线就叫做这个平面的“消失线”（vanishing line）。如果你站在一望无垠的水平地面上，你所看到的地平线就是地面的消失线，它和你的眼睛齐平。地面上的任何一条无限向前延伸的线，在画布上的消失点都位于消失线上。

所以，之前在解释 AB₀C₀D₀为何是平行四边形的时候，我们完全可以这么说：画布上的直线 PQ 和人眼齐平，这说明它是平面 γ 的消失线。由于四边形 AB₀C₀D₀的两组对边在画布上的像都汇聚在了消失线上，这说明这个四边形的每一组对边都是平行的，所以它是一个平行四边形。