趣题：每个小点最后都会回到自己原来的位置上吗？

最近，来自wavegrower(http://wavegrower.tumblr.com/post/126854522925/currents-if-i-had-the-time-i-would-check-if-one-of)的一张 gif 动画红遍了reddit(https://www.reddit.com/r/woahdude/comments/3hys1f/try_and_follow_one/)。有人提出了这么一个问题：每个小点最后都会回到自己原来的位置上吗？注意，这些小点并不是沿着一个回路在运动，而是沿着三个交替出现的回路在运动。

答案是肯定的。 math 版上的OmnipotentEntity(https://www.reddit.com/r/math/comments/3hz9u9/will_each_jellyfish_in_this_gif_eventually_end_up/cubw779)给出了一个简短的证明。假设某个地方的小点出发后永远不会回到原地。由于小点的运动规律是三步一个周期，因此每三步之后从此处出发的小点将会拥有完全相同的命运——永远不会回到原地。既然从这里出发的小点会不断地发生有去无回的情况，那么总有一个时候小点会被用光，此时就再也没有小点能从这里出发了。但这与我们看到的实际情况相矛盾：每个地方的小点都是用之不竭的。

熟悉群论的朋友会很快发现，这个结论几乎是显然的。小点的每一步运动都形成了一个置换，三个置换的复合本质上也还是一个置换，而这个置换的足够多次幂一定会变成单位置换。这意味着，不但每个点都能回到自己原来的位置，而且所有点能同时回到自己原来的位置（后者可能需要更长的时间）。事实上，有限群中的任意一个元素都有一个有限的阶，因而如果某类变换操作能构成一个有限群的话，不断地执行某一个操作，或者不断地循环执行某几个操作，最后总有一个时刻你会发现，一切又都重新变回了原样。拿出一副新的扑克牌，每次洗牌时都把牌分成两半并把它们完美地交叉在一起，那么不断这样洗下去之后，整副牌总会在某个时候重新变得有序。找一个复原好了的魔方，循环执行几个固定的操作，魔方很快就会被彻底打乱，但最终一定会奇迹般地再次复原。