位运算简介及实用技巧（一）：基础篇

从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章，与其说是原来那篇文章的follow-up，不如说是一个remake。当然首先我还是从最基础的东西说起。

什么是位运算？

程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了，就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如，and运算本来是一个逻辑运算符，但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子，6的二进制是110，11的二进制是1011，那么6 and 11的结果就是2，它是二进制对应位进行逻辑运算的结果（0表示False，1表示True，空位都当0处理）：

     110
AND 1011
———-
0010 –> 2

由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转成十进制，因此处理速度非常快。当然有人会说，这个快了有什么用，计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你，位运算到底可以干什么，有些什么经典应用，以及如何用位运算优化你的程序。

Pascal和C中的位运算符号

下面的a和b都是整数类型，则：

C语言  | Pascal语言
———-+————-
a & b  | a and b
a | b  | a or b
a ^ b  | a xor b
   ~a  | not a
a << b | a shl b
a >> b | a shr b

注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。520|1314=1834，但520||1314=1，因为逻辑运算时520和1314都相当于True。同样的，!a和~a也是有区别的。

各种位运算的使用

=== 1. and运算 ===

and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.

=== 2. or运算 ===

or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

=== 3. xor运算 ===

xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。

xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@（我怎么找不到那个圈里有个叉的字符），这两个符号互为逆运算，也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令，结果是什么？

x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y

执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。

加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。

procedure swap(var a,b:longint);
begin
     a:=a + b;
     b:=a - b;
     a:=a - b;
end;

好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：

procedure swap(var a,b:longint);
begin
     a:=a xor b;
     b:=a xor b;
     a:=a xor b;
end;

=== 4. not运算 ===

not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

var
     a:word;
begin
     a:=100;
     a:=not a;
     writeln(a);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
     unsigned short a=100;
     a = ~a;
     printf( "%dn", a ); 
     return 0;
}

如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. shl运算 ===

a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 – 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 ===

和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

位运算的简单应用

有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如，一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示（二进制为000010010），而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去，而是直接进行位操作。在搜索时，把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题（www.vijos.cn/Problem_Show.asp?id=1197）是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。

下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

         功能           |            示例            |         位运算
————————————+——————————————+———————————–
去掉最后一位            | (101101->10110)            | x shr 1
在最后加一个0           | (101101->1011010)          | x shl 1
在最后加一个1           | (101101->1011011)          | x shl 1+1
把最后一位变成1         | (101100->101101)           | x or 1
把最后一位变成0         | (101101->101100)           | x or 1-1
最后一位取反            | (101101->101100)           | x xor 1
把右数第k位变成1        | (101001->101101,k=3)       | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0        | (101101->101001,k=3)       | x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反           | (101001->101101,k=3)       | x xor (1 shl (k-1))
取末三位                | (1101101->101)             | x and 7
取末k位                 | (1101101->1101,k=5)        | x and (1 shl k-1)
取右数第k位             | (1101101->1,k=4)           | x shr (k-1) and 1
把末k位变成1            | (101001->101111,k=4)       | x or (1 shl k-1)
末k位取反               | (101001->100110,k=4)       | x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0      | (100101111->100100000)     | x and (x+1)
把右起第一个0变成1      | (100101111->100111111)     | x or (x+1)
把右边连续的0变成1      | (11011000->11011111)       | x or (x-1)
取右边连续的1           | (100101111->1111)          | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边   | (100101000->1000)          | x and (x xor (x-1))

最后这一个在树状数组中会用到。

Pascal和C中的16进制表示

Pascal中需要在16进制数前加$符号表示，C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。

整数类型的储存

我们前面所说的位运算都没有涉及负数，都假设这些运算是在unsigned/word类型（只能表示正数的整型）上进行操作。但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢？下面两个程序都是考察16位整数的储存方式（只是语言不同）。

var
     a,b:integer;
begin
     a:=$0000;
     b:=$0001;
     write(a,' ',b,' ');
     a:=$FFFE;
     b:=$FFFF;
     write(a,' ',b,' ');
     a:=$7FFF;
     b:=$8000;
     writeln(a,' ',b);
end.

#include <stdio.h>
int main()
{
     short int a, b;
     a = 0x0000;
     b = 0x0001;
     printf( "%d %d ", a, b );
     a = 0xFFFE;
     b = 0xFFFF;
     printf( "%d %d ", a, b );
     a = 0x7FFF;
     b = 0x8000;
     printf( "%d %dn", a, b );
     return 0;
}

两个程序的输出均为0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前两个数是内存值最小的时候，中间两个数则是内存值最大的时候，最后输出的两个数是正数与负数的分界处。由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的：计算机用$0000到$7FFF依次表示0到32767的数，剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。32位有符号整数的储存方式也是类似的。稍加注意你会发现，二进制的第一位是用来表示正负号的，0表示正，1表示负。这里有一个问题：0本来既不是正数，也不是负数，但它占用了$0000的位置，因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后，最高位的变化将导致正负颠倒，并且数的绝对值会差1。也就是说，not a实际上等于-a-1。这种整数储存方式叫做“补码”。