千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜（二）

数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。

之前写的一篇名为千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜的文章，选取并翻译了 Mathematical Puzzles 一书中提到的未解数学谜题。不过，毕竟 Mathematical Puzzles 一书容量有限，没法把所有折磨人的数学猜想都收录进来。后来，我慢慢收集了更多漂亮的数学猜想，今天又见到 MathOverflow 的这个问题（mathoverflow.net/questions/75698/examples-of-seemingly-elementary-problems-that-are-hard-to-solve），足以凑成一篇新的文章了。于是写下来，和大家一同分享。

196 问题

一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是 67，两步就可以得到一个回文数 484：

67 + 76 = 143

143 + 341 = 484

把 69 变成一个回文数则需要四步：

69 + 96 = 165

165 + 561 = 726

726 + 627 = 1353

1353 + 3531 = 4884

89 的“回文数之路”则特别长，要到第 24 步才会得到第一个回文数，8813200023188。

大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从 196 出发，究竟能否加出回文数来？196 究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。

Gilbreath 猜想

从小到大依次列出所有的质数：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

求出相邻两项之差：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

现在，再次求出所得序列中相邻两项之差，又会得到一个新的序列：

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

重复对所得序列进行这样的操作，我们还可以依次得到

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

大家会发现一个有趣的规律：每行序列的第一个数都是 1。

某日，数学家 Norman L. Gilbreath 闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。Gilbreath 的两个学生对前 64 419 行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958 年，Gilbreath 在一个数学交流会上提出了他的发现，Gilbreath 猜想由此诞生。

这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993 年，Andrew Odlyzko对 10 000 000 000 000 以内的质数（也就是 346 065 536 839 行）进行了检验，也没有发现反例。

不过，这一看似简单的问题，几十年来硬是没人解决。

Ramsey 问题

有这么一个定理：六个人参加一场会议，其中某些人之间握过手，那么一定存在三个人互相之间都握过手，或者三个人互相之间都没握过手。我们可以借助鸽笼原理很快证明这个结论。选出其中一个人 A ，然后把剩下的五个人分成两组，和 A 握过手的，以及没和 A 握过手的。显然，其中一组至少有三个人。不妨假设和 A 握过手的那一组至少有三个人吧。把这一组里的三个人分别记作 B 、 C 、 D（如果这一组的人数大于 3 ，任意选三个人就行了）。如果 B 、 C 、 D 三个人之间有两个人握过手，那么这两个人和 A 就成了互相之间握过手的三人组；如果 B 、 C 、 D 三个人之间都没握过手，那么他们本身就成了互相之间都没握手的三人组。如果至少有三个人的是没和 A 握手的那一组，根据类似的推理也能得出，总能找到互相之间都握过手或者都没握过手的三个人。

1930 年，英国数学家 Frank Ramsey 证明了一个更强的结论：给定两个正整数 r 和 s ，总能找到一个 n ，使得一场 n 人会议中，或者存在 r 个人互相之间都握过手，或者存在 s 个人互相之间都没握过手。用图论的语言来叙述，就是对于任意给定的 r 和 s ，总存在一个 n ，使得在完全图 K_n的任意一种红蓝二染色方案中，要么存在一个大小为 r 的红色完全子图，要么存在一个大小为 s 的蓝色完全子图。我们把满足条件的最小的 n 记作 R(r, s) 。

前面我们已经证明了，六个人足以产生互相都握过手的三个人或者互相都没握手的三个人，也就是说 R(3, 3) ≤ 6 。但五个人是不够的，比方说如果只有 A 和 B 、 B 和 C 、 C 和 D 、 D 和 E 、 E 和 A 之间握手，容易看出不管选哪三个人，握过手的和没握过手的总是并存。因此， R(3, 3) 精确地等于 6 。

求出 R(r, s) 的精确值出人意料地难。目前已经知道 R(4, 4) = 18 ，但对于 R(5, 5) ，我们只知道它介于 43 到 49 之间，具体的值至今仍未求出来。如果要用计算机硬求 R(5, 5) ，则计算机需要考虑的情况数大约在 10³⁰⁰这个数量级，这是一个不可能完成的任务。而 R(6, 6) 就更大了，目前已知它在 102 到 165 的范围内。它的准确值是多少，恐怕我们永远都不可能知道了。

Erdős 神牛曾经说过，假如有一支异常强大的外星人军队来到地球，要求人类给出 R(5, 5) 的准确值，否则就会摧毁地球。Erdős 建议，此时我们应该集结全世界所有数学家的智慧和全世界所有计算机的力量，试着求出 R(5, 5) 来。但是，假如外星人要求人类给出 R(6, 6) 的准确值，那么 Erdős 建议，我们应该试着摧毁外星人军队。

Singmaster 猜想

在杨辉三角中，数字 1 出现了无穷多次。除了数字 1 以外，哪个数字出现的次数最多呢？ 6 出现了 3 次，不过不算多。 10 出现了 4 次，不过也不算多。 120 出现了 6 次，算多了吧？还不算多。目前已知的出现次数最多的数是 3003 ，它同时等于 C(3003, 1) 、 C(78, 2) 、 C(15, 5) 、 C(14, 6) ，在杨辉三角中出现了 8 次。有没有出现次数更多的数，目前仍然是一个未解之谜。

真正精彩的来了。如果把正整数 a 在杨辉三角中出现的次数记作 N(a) ，那么函数 N(a) 是什么级别上涨的呢？ 1971 年，David Singmaster 证明了 N(a) = O(log a) ，即 N(a) 最多是对数级别上涨的。他同时猜想 N(a) = O(1) ，即 N(a) 有一个上限。这也就是 Singmaster 猜想。由于我们一直没能找到出现次数超过 8 次的数，因而这个上界很可能就是 8 。不过， Singmaster 猜测这个上界更可能是 10 或者 12 。

Erdős 认为，Singmaster 的猜想很可能是正确的，但证明起来会非常困难。目前最好的结果是，N(a) = O((log a · log log log a) / (log log a)³) 。

有理距离

在平面上是否存在一个点，它到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数？

第一次知道这个问题竟然没被解决时，我很是吃惊——我原本还以为这个问题会有一些很平凡的解呢。然而，仔细想想也不奇怪，这和很多其他的数学难题一样，本质上都是 Diophantus 方程，其解的存在性都是很难判断的。只不过，某些问题的叙述方式会给人带来一种格外基本、格外初等的感觉。

与这个问题类似的是 Euler 完美长方体问题：是否存在一个长方体，它的长、宽、高、所有面对角线以及体对角线的长度都是有理数？

事实上，还有很多“构造点集让距离满足一定关系”形式的数学问题，它们都是长期以来悬而未解的难题。

另外几个与点集内的距离有关的未解之谜，我也一并写在这里。其中一个问题是 Ulam 在 1945 年提出的：是否存在一个平面上的稠密点集，使得每两个点之间的距离都是有理数？另一个有趣的问题则是，注意到 n 个点两两之间能确定 C(n, 2) 条线段，而这个数目正好等于1 + 2 + … + (n – 1) 。于是我们想问，是否对于任意一个正整数 n ，我们总能找出平面上任意三点不共线、任意四点不共圆的 n 个点，使得其中有一种长度的线段恰好出现了一次，有一种长度的线段恰好出现了两次，等等，一直到有一种长度的线段恰好出现了 n – 1 次？目前，人们已经构造出了 n ≤ 8 时的解，其中一部分构造可以见这里（问题 12 ）。对于 n > 8 的情况究竟是否有解，目前尚无定论。

重构猜想

这可以说是图论中最重要的猜想之一，然而我却是最近才听说。这个猜想叫做“重构猜想”（reconstruction conjecture），最早是由 Kelly 和 Ulam 提出的。它的叙述非常简单：对于某个顶点数为 n 的图（n ≥ 3），如果已知它的每一个顶点为 n – 1 的子图，是否足以将原图重构出来？

让我们把这个问题变得形式化一些。假设 A 是一个至少有三个顶点的图（顶点无标号），把它的顶点数记作 n 。我们把去掉其中一个顶点后可能得到的所有 n 个子图所组成的多重集（允许重复元素的集合）叫做图 A 的 n – 1 子图集。重构猜想就是问，如果 A 、 B 两个图拥有完全相同的 n – 1 子图集，那么这两个图是否也一定同构？

目前已经发现，有很多类型的图都是可以重构的，比如完全图（显然）、不连通图、树等等。所有图都是可重构的吗？这是图论中最大的谜题之一。

和其他的数学猜想不一样，如果要用计算机来检验这个猜想，其计算量相当惊人。目前，计算机仅仅验证了 n ≤ 11 的情况。

(3/2)ⁿ的小数部分

假如 n 是正整数， (3/2)ⁿ的小数部分在 [0, 1] 区间内稠密吗？

目前，我们已经知道，对于任意无理数 a ， n · a 的小数部分一定在 [0, 1] 区间内稠密。我们也已经知道，对于几乎所有的 t ，t · (3/2)ⁿ的小数部分在 [0, 1] 区间内稠密。我们还知道，对于几乎所有的实数 b > 1 ， bⁿ的小数部分在 [0, 1] 区间内稠密。不过，这都还不足以解决我们刚刚提到的问题。

Kusner 猜想

定义 n 维空间中 P(p₁, p₂, …, p_n) 和 Q(q₁, q₂, …, q_n) 两点之间的 Manhattan 距离为 |p₁– q₁| + |p₂– q₂| + … + |p_n– q_n| ，直观地说就是在 n 维网格中从 P 到 Q 的最短路径长度。某日，网友告诉了我一个与此相关的数学未解之谜：在 n 维空间中，最多可以有多少个 Manhattan 距离两两相等的点？

容易看出，这样的点至少可以有 2n 个，例如三维空间中 (1, 0, 0) 、 (-1, 0, 0) 、 (0, 1, 0) 、 (0, -1, 0) 、 (0, 0, 1) 、 (0, 0, -1) 就是满足要求的 6 个点。大家肯定会想，这应该就是点数最少的方案了吧？不过，真要证明起来可没那么容易。1983 年，Robert Kusner 猜想， n 维空间中 Manhattan 距离两两相等的点最多也只能有 2n 个，这也就是现在所说的 Kusner 猜想。目前人们已经证明，当 n ≤ 4 时， Kusner 猜想是正确的。当 n > 4 时呢？虽然大家相信这个猜想也应该是正确的，但还没有人能够证明。

有趣的是，在很多其他的度量空间下，同类型的问题却并没有这么棘手。如果把距离定义为标准的 Euclidean 距离，那么 n 维空间中显然最多有 n + 1 个等距点；如果把距离定义为 Chebyshev 距离（即所有 |p_i– q_i| 中的最大值），问题的解则是 2ⁿ，即 n 维坐标系中单位立方体的 2ⁿ个顶点。一旦换作 Manhattan 距离，问题就迟迟不能解决，这还真有些出人意料。

好了，这次我们就先说到这里。和往常一样，希望能看到大家留言或者来信分享更多精彩的例子。

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