趣题：怎样向别人证明两个图不同构？

若干个顶点（vertex）以及某些顶点对之间的边（edge）就构成了一个图（graph）。如果图 G 和图 H 的顶点数相同，并且它们的顶点之间存在着某种对应关系，使得图 G 中的两个顶点之间有边，当且仅当图 H 中的两个对应顶点之间有边，我们就说图 G 和图 H 是同构的（isomorphism）。直观地说，两个图是同构的，意思就是它们本质上是同一个图，虽然具体的画法可能不一样。下面的两个图就是同构的。其中一种顶点对应关系是： 1 – a, 2 – c, 3 – d, 4 – b, 5 – e, 6 – g, 7 – h, 8 – f 。

目前，人们还没有找到任何高效的算法，能迅速判断出两个图是否同构。在普通计算机上，判断两个图是否同构，这需要花费大量的时间。因此，人们经常以图的同构为例，来解释复杂度理论和现代密码学中的诸多概念。

假设你家里的计算机十分强大，能很快判断出两个图是否同构，还能在两个图确实同构的情况下，给出一种顶点对应关系。但你的同桌家里的计算机却非常弱，没法做什么大型运算。课堂上，老师向全班展示了两个很复杂的图，不妨把它们叫作图 G 和图 H 。老师布置了一个特别的选做题：判断出这两个图是否同构。每个同学都可以提交答案，答案里只需要写“是”或者“不是”即可。按时提交答案并答对者，期末考试会获得 5 分加分；按时提交答案但答错了的，期末考试成绩将会倒扣 30 分；不参与此活动的同学，期末考试既不加分也不扣分。显然，每个同学都不敢随意提交答案，除非百分之百地能保证自己获得的答案是正确的。回到家后，借助家里的超级计算机，你很快判断出了这两个图是同构的。你给你的同桌发送了信息：“我已经算出来了，这两个图是同构的。”但是，你的同桌却回复说：“你不会是骗我的吧？”你打算怎样说服他，这两个图确实是同构的呢？

你只需要把两个图的顶点对应关系发送给他即可。他家里的计算机非常弱，没法找出满足要求的顶点对应关系。但若有了一个顶点对应关系，验证其确实满足要求，这是非常容易的，几乎不需要什么计算量——只需要枚举图 G 里的顶点对，看看它们之间有边是否当且仅当图 H 中的对应顶点之间有边即可。完成验证之后，他就知道了，这两个图确实是同构的。

总结起来，刚才我们面对的是这样的困境：

• 你拥有无限的计算能力。
• 对方的计算能力非常有限。
• 你想要向对方证明，图 G 和图 H 确实是同构的。

判断两个图是否同构可能很难，但若给出一段证据后，很容易验证两个图确实同构，上述困境也就得以解决了。这就是复杂度理论中 NP 问题的大致意思。

但是，如果把两个图同构的证据直接交给你的同桌，你的同桌或许又会用同样的办法去帮助别人，最后搞得班上所有人都获得了加分，这就没意思了。有没有办法说服你的同桌，这两个图确实是同构的，但却又让他无法拿到这两个图同构的证据呢？也就是说，现在我们面对的是这样的困境：

• 你拥有无限的计算能力。
• 对方的计算能力非常有限。
• 你想要向对方证明，图 G 和图 H 确实是同构的。
• 你不想泄露这两个图的顶点之间的对应关系。

这看上去似乎是不可能实现的——不把顶点之间的对应关系告诉对方，怎样说服对方两个图确实是同构的呢？然而，这竟然是能做到的。整个过程分为很多轮进行。在每一轮里，你随机生成一个与图 G 同构的图 G′ 。如果图 G 和图 H 真的同构，那显然图 G′ 也与图 H 同构。然后，你把图 G′ 发送给对方。对方可以随机提出下面两个要求之一：提供 G′ 与 G 同构的证据，或者提供 G′ 与 H 同构的证据。不管对方提出的是哪个要求，你都可以放心大胆地把证据发给对方，这不会泄露图 G 和图 H 之间的对应关系。另外，如果图 G 和图 H 不是同构的，那么这两个要求你不可能都做得到；面对对方的抽查，总能如约作答的概率是很低很低的。很多轮过去后，对方便慢慢确信，图 G 和图 H 真的是同构的了。在现代密码学中，让对方相信命题的正确性，但又不泄露任何其他的信息，这就叫作“零知识证明”（zero-knowledge proof）。

现在，让我们再来看一种情境。去掉上述第四点要求，但把第三点要求改一下：

• 你拥有无限的计算能力。
• 对方的计算能力非常有限。
• 你想要向对方证明，图 G 和图 H 确实是不同构的。

你打算怎么办？注意，你的办法应该普遍适用于一切情况。在某些特定的情况下，你当然可以告诉对方，“这两个图显然不同构，因为它们的边数就不一样多”，但这不适用于两个图的边数一样多的情况。

很简单。每次让对方随机生成一个与图 G 同构的图或者与图 H 同构的图，并把它发送给你。每次你都可以准确地告诉对方，刚才发来的图是从图 G 变过来的，还是从图 H 变过来的。多试几次，对方便能确信，这两个图确实是不一样的。

上述所有例子都属于“交互式证明”（interactive proof）。第一个例子是确定性的交互式证明（deterministic interactive proof）。它也是最简单的一类交互式证明。第二个例子则是带有附加条件的交互式证明。也就是说，零知识证明是一种特殊的交互式证明。第三个例子则表明，对于有些问题来说，交互式证明的存在性并不是显然的（即使没有任何附加条件）。如果利用确定性的交互式证明，你能向别人说明问题的答案是肯定的，我们就说这个问题属于 dIP 集合。很容易证明， dIP = NP 。如果利用交互式证明（包括非确定性的交互式证明），你能向别人说明问题的答案是肯定的，我们就说这个问题属于 IP 集合。交互式证明理论的一个最主要的结论就是 IP = PSPACE ，其中 PSPACE 表示所有能用多项式的空间解决的问题。

第一个例子和第二个例子都是我早已听说过的例子。第三个例子以及与此相关的交互式证明理论则是我最近在 Introduction to the Theory of Computation 一书中看到的。它们应该都是复杂度理论中非常经典的例子。