如果把 3 · n + 1 问题改为 3x · n + 1 问题

Collatz 猜想也叫做 3 · n + 1 问题。这可能是数学中最为世人所知的未解之谜。它是如此初等，连小学生都能听懂它的内容；但解决它却如此之难，以至于 Paul Erdős 曾说：“或许现在的数学还没准备好去解决这样的问题。”这究竟是一个什么样的问题呢？让我们来看一下 Collatz 猜想的叙述：

任意取一个正整数 n 。如果 n 是奇数，则把 n 变为 3 · n + 1 ；如果 n 是偶数，则把 n 变为 n/2 。不断重复操作，则最终一定会得到 1 。

举个例子，如果 n = 26 ，那么经过下面 10 步之后，它最终变为了 1 ：

26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Collatz 猜想说的就是，这个规律对于所有正整数 n 均是如此。这个问题看起来是如此简单，以至于无数的数学家都掉进了这个坑里。光从这个问题的众多别名，便能看出这个问题害人不浅： Collatz 猜想又叫做 Ulam 猜想、 Kakutani 问题、 Thwaites 猜想、 Hasse 算法、 Syracuse 问题……研究这个问题的人很多，解决这个问题的人却一个没有。后来，人们干脆把它叫做 3 · n + 1 问题，让哪个数学家也不沾光。

这个问题有多难呢？我们可以从下面的这个例子中略见一斑。虽然从 26 出发只消 10 步就能变成 1 ，但若换一个数，比如 27 ，情况就大不一样了：

27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

可见，当 n 的值不同时，从 n 变到 1 的路子是很没规律的。

有趣的是，如果我们把 Collatz 猜想中的乘以 3 改为乘以任意一个 3^x（其中 x 的值可由你自由选择），那么 Collatz 猜想就是正确的了。下面我们就来证明这一点。

首先我们证明一个引理：任何一个正整数都可以表示成下面这样：

2^a₁× 3^b₁+ 2^a₂× 3^b₂+ 2^a₃× 3^b₃+ … + 2^a_n× 3^b_n

其中 0 ≤ a₁< a₂< a₃< … < a_n，并且 b₁> b₂> b₃> … > b_n≥ 0 。举个例子， 213 = 3⁴+ 2²× 3²+ 2⁵× 3 就是一种合法的表示法。

反证，假设有的数不能用这种方法来表示，那么一定存在一个最小的不能用这种方法来表示的数，不妨把它叫做 y 。显然 y 不能是偶数，否则把 y/2 的表示法中的每一项都再乘以一个 2 ，就能得到 y 的一种合法表示了。如果 y 是奇数呢？无妨假设 3ⁱ≤ y < 3ⁱ⁺¹，其中 i 是某个适当的正整数。于是， y′ = y – 3ⁱ就是一个偶数，并且 y′/2 < 3ⁱ。把 y′/2 的表示法中的每一项都再乘以一个 2 ，再在最前面加上一个 3ⁱ，就能得到 y 的一种合法表示了。

下面我们就来证明，不断地执行 n → 3^x· n + 1 （当 n 为奇数时）以及 n → n/2 （当 n 为偶数时）的变换，任何一个正整数最终都能变为 1 。还是以 27 为例。问题改版后，把 27 变成 1 的步骤数能大大减少：

(((((27 × 3²+ 1) / 2²× 3 + 1) / 2³× 3²+ 1) / 2⁴× 3 + 1) / 2³× 3 + 1) / 2⁴= 1

在这个过程中，我们一共除以了 16 个 2 。也就是说，上式中所有 2 头上的指数之和是 16 。想一想，如果等式两边同时乘以 2¹⁶，结果会怎样？结果是，等式左边就不再有除法了：

27 × 3⁷+ 3⁵+ 2²× 3⁴+ 2⁵× 3²+ 2⁹× 3 + 2¹²= 2¹⁶

其中，等式左边的 3⁵+ … + 2¹²，正好是 2¹⁶– 27 × 3⁷的一个合法的表示法！

所以，为了证明某个正整数 n 最终能变为 1 ，我们只需要证明，存在适当的 a 和 b ，使得 2^a– n · 3^b有一个合法的表示法，并且表示法第一项里 3 的指数小于 b 。

由于 log₃2 为无理数，因而很容易看出，对于任意的正整数 n ，我们总能找到一个 b ，使得 [n · 3^b, (n + 1) · 3^b) 区间内包含某个 2 的整数次幂。把这个 2 的整数次幂记作 2^a。既然每一个正整数都有一个合法的表示法，那么 2^a– n · 3^b也有一个合法的表示法。而 2^a– n · 3^b< 3^b，因而它的表示法第一项里 3 的指数一定小于 b 。

本文最后，让我们再对上一段中第一句话的结论作出一些额外的解释。设想有一个总长为 1 的圆形轨道，轨道上有一个周长为 r 的轮子，其中 r 为某个大于 0 的无理数。在轮子上的某个位置涂一个墨点。让轮子从圆形轨道上的某一位置出发，沿着轨道往前滚动。每次墨点接触轨道时，都会在轨道上留下一个记号（轮子上的墨点不会干掉，滚过已有的记号时也不会反过来沾上墨点）。我们可以证明一个结论：轮子沿着轨道一圈一圈地滚动下去之后，轨道上的各个地方都会稠密地分布着记号。

首先，任意两个记号的位置都不会重合，否则某个整数倍的 r 就会等于某个整数，这与 r 的无理性相矛盾。因此，轮子转了无穷多圈之后，轨道上也会留下无穷多个记号。取任意大的正整数 N ，把轨道平均分成 N 份，每份的长度都是 1/N 。根据鸽笼原理，一定有两个记号落入了同一份里。这两个记号之间的距离 d 小于 1/N 。不妨假设轮子从先产生的那个记号出发，转了 k 圈之后来到了后产生的那个记号；那么，从此处出发再转上 k, 2k, 3k, …圈，就会继续得到一系列间隔为 d 的记号。如果正整数 N 足够大，间隔 d 就会足够小，由此产生的记号也就会足够密地分布在整个轨道上了。

为什么对于任意的正整数 n ，我们总能找到一个 b ，使得 [n · 3^b, (n + 1) · 3^b) 区间内包含某个 2 的整数次幂呢？在对数尺度下，这就化为了刚才讨论的问题。 [n × 3⁰, n × 3¹), [n × 3¹, n × 3²), [n × 3², n × 3³), … 成为了一个个等长的区间，区间的长度都是 log(3) 。而 2⁰, 2¹, 2², … 也就成了一系列的等距点，相邻两个点之间的距离是 log(2) 。如果把 log(3) 的长度看作 1 个单位，那么 log(2) 的长度就是 log(2) / log(3) = log₃2 个单位，这是一个无理数。这就完全相当于周长为 log₃2 的轮子沿着总长为 1 的圆形轨道滚动。根据刚才的结论，由此得到的标记将会稠密地分布在这些等长区间内的各种位置，当然也就会有不少标记落进了形如 [n · 3^b, (n + 1) · 3^b) 的区间里。

这个问题出自http://www.brand.site.co.il/riddles/201508q.html。