玩转内接多边形（六）：任意凸多边形内均存在内接正方形

这一系列文章的最后，我们将证明：任意凸多边形内均存在内接正方形。事实上，这几乎是“任意凸多边形内均存在内接菱形”这一命题的直接推论。在这篇文章中，我们实际上证明了这样一个结论：在任意凸多边形中，任选一个方向 u ，总能找到一个内接菱形，它的其中一条对角线与所选方向平行。

现在，慢慢旋转方向 u ，则所得菱形的两条对角线将连续地变化。当方向 u 旋转了 90 度后，原来的两条对角线交换了位置，换句话说两条对角线的长度之差变号了。因此，在方向 u 旋转的过程中，必然有一个时刻两条对角线的长度恰好相同，此时内接正方形也就得到了。

可能有的读者想问了，去掉“凸多边形”这一条件，任意多边形内都存在内接正方形吗？答案是肯定的。 Square Peg 定理告诉我们，对于任意一个简单多边形，总能在上面找到四个点，使得它们恰好是一个正方形的四个顶点。定理的证明需要用到很多之前提到的类似的方法，不过更加复杂一些，这里就不再叙述了。

最后还有一个有趣的话题想与大家分享一下。大家看到了，在一个多边形内内接等边三角形、矩形、菱形甚至正方形都是没有问题的，那么这类问题的极限在哪里？有什么图形是一个多边形内不能内接的吗？肯定是有的。下面我们证明，存在一个多边形，它不能内接正七边形。

事实上，任何三角形内都不能内接正七边形。考虑一个正七边形的外接圆，它与三角形最多只有六个交点（因为一条线段和一个圆最多只能产生两个交点），因此正七边形显然是不能内接于三角形内的。