玩转内接多边形（二）：任意多边形内均存在内接矩形

紧接着，我们想问：是否任意一个多边形内都能找到内接矩形呢？有意思的是，答案也是肯定的。但此时，前一节我们用到的两种证明方法现在都派不上用场了，我们需要用到一些全新的手段。下面这个证明真可谓是巧妙到了诡异的地步，真不知是谁想出来的。

对于多边形边界上的任意两点 A(x1, y1) 、 B(x2, y2) ，作出它们在三维空间中所对应的点 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, √(x1-x2)^2+(y1-y2)^2) 。换句话说，把多边形放在水平面 z=0 上，对于多边形上的每一组无序点对 A 、 B ，在线段 AB 中点的正上方 |AB| 处作一个点。再把这个多边形本身加进去，我们就得到了一个三维空间中的封闭曲面。

可以看到，图中所示的例子中，这个曲面与自身相交了。这就表明，存在多边形边界上的两组点对 A 、 B 和 C 、 D ，它们满足线段 AB 和 CD 的中点重合，并且两线段一样长。这样，四边形 ABCD 就是多边形的一个内接矩形了。下面我们将说明，这个曲面一定会与自身相交。

容易看出，如果 A 、 B 两个点都在多边形的同一条边上，那么所有这样的点对在三维空间的对应点集是一个三角形；如果 A 、 B 来自于两条不同的边，那么所有可能的线段 AB 的中点将构成一个平行四边形，它们在空间中对应的点集就是一个有四条边的曲面。也就是说，这个曲面有一个 n 边形（底面），有 n 个三边形（对应多边形的 n 条边），还有 n(n-1)/2 个四边形（对应多边形的 n(n-1)/2 对边）。因此，这个曲面一共有 1 + n + n(n-1)/2 个面，而它的边数则为

(1/2) * (n*1 + 3*n + 4*n(n-1)/2) = n^2 + n

另外，多边形的每两个顶点对应了曲面上的一个顶点，再加上底面上还有 n 个顶点，因此这个曲面有 n + n(n-1)/2 个顶点。于是，这个曲面的 Euler 示性数 V – E + F 等于

n + n(n-1)/2 – n^2 – n + 1 + n + n(n-1)/2 = 1

这表面这个曲面是不可定向的，它不能嵌入到三维空间中。