趣题：为什么偏偏是 6 格？

无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次，你可以对它们做下面两种操作之一：

• 选择某个格子，保证该格子内至少含有 1 个原子。将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个，从而使得该格子内的原子数量减 1 ，两边的邻格里的原子数量分别加 1。
• 选择某个格子，保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起来，从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ，该格子内的原子数量加 1。

初始时，某个格子里有 1 个原子。现在，你需要在若干次操作之后，让它右移 6 格。也就是说，你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图（其中，数字 1 表示该格内的原子数为 1 ）。继续阅读下去之前，你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。

其中一种方法如下。

你或许会觉得这里面隐藏着一些规律。我们似乎可以对上面的方法进行扩展，把初始时的那个原子移到它右边的任意一格里，比方说把初始时的那个原子移到它右边第 2 格，或者第 3 格，或者第 7 格的位置。然而，简单地试试，你会发现，这还真的不行。上述方法只适用于右移 6 格的情况。事实上，我们可以证明，如果某个格子里的 1 个原子最终可以变为另外一个格子里的 1 个原子，这两个格子的位置一定相差 6 或者 6 的整倍数。

让我们像下面这样，为每一个格子都赋一个值，其中 ω = (-1)^1/3 ，即 -1 在复数范围内的一个立方根。注意到 ω 满足 ω³ + 1 = 0 ，即 (ω + 1)(ω² – ω + 1) = 0 ；而 ω + 1 ≠ 0 ，于是只能是 ω² – ω + 1 = 0 。

对于整个棋盘上的任意一种原子排布，我们都可以把每个放有原子的格子里的值加在一起，一个格子里有几个原子，它对应的值就加几次。我们把如此得到的总和叫做此时棋盘上原子排布的特征值。例如，如果 ω^-2 上有 2 个原子， ω² 上有 1 个原子， ω³ 上有 4 个原子，其他格子都是空的，那么此时棋盘上原子排布的特征值就是 2 · ω^-2 + 1 · ω² + 4 · ω³ 。

当位于 ωⁿ 位置上的原子分裂时，特征值会减小一个 ωⁿ ，但会增加一个 ω^n-1 和一个 ωⁿ⁺¹ ，所以特征值的变化量为 – ωⁿ + ω^n-1 + ωⁿ⁺¹ = ω^n-1 · (- ω + 1 + ω²) 。然而，之前我们说过， ω 的取值满足 ω² – ω + 1 = 0 。因此，任何一次原子分裂操作都不会改变原子排布的特征值。

类似地，原子聚合导致的特征值的变化量为 – ω^n-1 – ωⁿ⁺¹ + ωⁿ = ω^n-1 · (- 1 – ω² + ω) = 0 。因此，任何一次原子聚合操作也都不会改变原子排布的特征值。

如果原来整个棋盘上只有 ωⁿ 位置上有 1 个原子，后来变得整个棋盘上只有 ω^m 位置上有 1 个原子，这就意味着 ωⁿ = ω^m ，即 ω^m / ωⁿ = 1 ，即 ω^m-n = 1 。考虑到 ω = (-1)^1/3 ，因此为了让 ω^m-n = 1 ，只有可能 m – n 是 6 的整倍数。这就解答了前面提出的问题。

我最初是在这里看见的这个问题： http://blog.sigfpe.com/2007/09/arboreal-isomorphisms-from-nuclear.html 。如果你对这个问题感兴趣的话，你一定会喜欢下面这个类似的但是更经典、更精彩的问题： https://www.cdsy.xyz/study/readingroom/221117/cd37978.html 。