这道有关圆的中考压轴题难度较大，解题关键是构造相似三角形

各位朋友，大家好！“数学视窗”给大家分享一道有关圆的综合题，这道题目给出的条件较多，题目的难度也比较大，属于中考的压轴题，很多人看到此题后，是直接放弃。当然，对于成绩一般的学生来说，做出第一问就不错了，后面两问比较难，选择放弃是合理的。此题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质等。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图1，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．

（1）求证：MC是⊙O的切线；

（2）若OD=9，DM=16，连接PC，求sin∠APC的值；

（3）如图2，在（2）的条件下，延长OB至N，使BN=24/5，在⊙O上找一点Q，使得NQ+3/5MQ的值最小，请直接写出其最小值．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：（1）连接OC，先利用切线的性质得到∠OBM=90°，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠BOM=∠COM，然后利用SAS证明△OCM≌△OBM，可得到∠OCM=∠OBM=90°；

（2）根据△MCD∽△COD，知CD^2=OD·MD，得出CD=BD=12，再根据解直角三角形得出结果即可；

（3）在OM上取点D，使OD/OQ＝3/5，得出△ODQ∽△OQM恒成立，再根据当D、Q、N共线时，DQ+QN最小，则可得出答案．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）证明：连接OC，（证切线，连半径）

∵AC∥OM，

（平行线的性质）

∴∠OAC=∠BOM，∠ACO=∠COM，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠BOM=∠COM，（等量代换）

在△OCM与△OBM中，

OC＝OB，

∠BOM＝∠COM，

OM＝OM，

∴△OCM≌△OBM（SAS），

∴∠OCM=∠OBM，

∵MB是⊙O的切线，

∴∠OCM=∠OBM=90°，

∴MC是⊙O的切线；

（2）∵MB，MC是⊙O的切线，

∴OM⊥BC，

∴∠ODB=∠ODC=90°，

∵OC⊥MC，

∴∠OCM=90°，

∴∠COM=∠DCM，

∴△MCD∽△COD，

∴OD/CD＝CD/MD，

即9/CD＝CD/16，

∴CD=BD=12，

在Rt△BOD中，由勾股定理，

得OB=15，

∴sin∠ABC=OD/OB＝3/5，

∵∠APC=∠ABC，

∴sin∠APC=sin∠ABC=3/5；

（3）如图2，由（2）知AB=30，OM=25，BM=20，OQ=OB=15，

在OM上取点D，使OD/OQ＝3/5，

（作辅助线构造相似三角形）

∵OQ/OM＝15/25＝3/5，

∴OD=9，

∵OD/OQ＝OQ/OM＝3/5，

且∠DOQ=∠QOM，

∴△ODQ∽△OQM，

∴DQ=3/5MQ，

∴求NQ+3/5MQ的值最小，相当于求NQ+DQ最小值，

∴当D、Q、N共线时，DQ+QN最小，

∴NQ+3/5MQ最小值为DN，

作DH⊥ON于点H，

∵sin∠DOH=4/5，cos∠DOH=3/5，

可得OH=9×3/5=27/5，

DH=9×4/5=36/5，

∴NH=15-27/5+24/5=72/5，

在Rt△DNH中，由勾股定理，

得DN=36√6 / 5，

即NQ+3/5MQ的最小值为36√6 / 5.

（完毕）

这道题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。