1990年高考数学填空压轴题，题目经典，3种方法轻松求解

大家好！本文和大家分享一道1990年高考文史类数学真题：如果实数x、y满足等式(x-2)^2+y^2=3，那么y/x的最大值是多少？这道题是当年试卷的填空压轴题，非常经典，现在也仍然属于常考的一种题型，下面介绍3种解法。

这道题实际上考查的是线性规划问题。线性规划在如今的高考中也基本每年都会看到。只是现在高中数学中线性规划的约束条件主要是二元一次不等式，可行域一般为一个封闭的三角形。比如2020年高考全国一卷文科数学的第13题，可行域就是由这个不等式组所确定的三角形。

在1990年的这道高考题中，约束条件不再是不等式，而是圆，可行域也不是三角形，而是圆周上的点。所以这类题在现在高中数学的学习中没有出现在线性规划的章节中而是出现在圆那一章中。接下来一起看一下这道题的解法。

因为(x-2)^2+y^2=3，所以满足条件的点(x,y)在以点(2,0)为圆心，√3为半径的圆上。然后可以用3种方法来求y/x的最大值。

方法一：

直接设y/x=k，那么可以得到kx-y=0，即可以看成是一条直线，k为直线的斜率。很明显，要使k取得最大值，直线与圆相切，所以圆心(2,0)到直线的距离等于圆的半径，然后解出k的值。需要注意的是，解出的k的值有两个，只需要取最大的那个值即可。过程如下图：

方法二：

同样设y/x=k，则y=kx。然后将圆的方程和直线方程联立起来，消去y就可以得到一个关于x的一元二次方程，即：

(1+k^2)x^2-4x+1=0。

根据方法一的分析，直线和圆相切时k取得最大值，那么上面的一元二次方程只有一个实数根，即△=0，代入得：

(-4)^2-4(1+k^2)=0，解出k的值，并取两个值中的最大值即可。

方法三：

y/x=(y-0)/(x-0)，即y/x的几何意义为圆(x-2)^2+y^2=3上的点与原点(0,0)所在直线的斜率。很明显，当圆上的点位于下图中B点时即B点为直线l1与圆相切时，斜率取得最大值，此时直线l1的斜率为k=|AB|/|OB|。

因为|AB|为圆的半径，所以|AB|=√3，|OB|=1，所以k=√3。

另外，求直线l1的斜率，也可以先求出∠AOB的角度再求斜率。

线性规划是全国卷的常考题型，在每年的全国卷中总有一套或者几套试题考到，但是一般来说题目的难度并不大，所以高中生必须要掌握，并且争取做到考试不丢分。毕竟不管是选择题还是填空题，1个小题的分值就是5分，对于简单题目就要尽量全部拿分才可能考得高分。