江苏省初中数学竞赛题，解六次方程，难度大，不愧是“苏大强”

要说国内哪个省份的教育比较强，江苏一定都在大家讨论的范围内。就拿这次高三8省联考来说，虽然考前衡水中学高调向江苏省高三学生下了“战书”，但是从结果来看，江苏省的整体实力还是更胜一筹，在语数外三科的平均分都要高于河北省。江苏省也凭借实力再次巩固了“苏大强”的称号。

江苏教育有着不少值得其他省份学习的地方，而且江苏不仅仅在一般考试中表现出了超强的实力，在各种竞赛中同样强势。那么本文和大家分享一道江苏省的初中数学竞赛题：解方程(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3。这道题的难度非常大，不少同学看到题目后表示：不愧是“苏大强”的竞赛题。

这是一道解高次方程的题目，而且是六次方程，不少同学看到题目后也是毫无思路，接下来介绍3种解法供大家参考。

解法一

解高次方程的基本方法是因式分解，但是这个方程要因式分解首先要把方程左边的式子展开，只有这样才能把右边的30x^3引入，从而进行因式分解。直接将左边展开并与右边合并同类项后，得到：x^6+x^5+x^4+x^2+x+1=28x^3。

接下来将会用到初中数学经常使用的处理技巧。

先将x=0代入原方程，可以发现x=0不是原方程的根，此时将前面处理后得到的方程两边同时除以x^3，此时可以得到：x^3+x^2+x+1/x+1/x^2+1/x^3=28。

下面再设x+1/x=t，则另外的两组都可以用t表示出来，从而得到一个关于t的三次方程。这样处理后就实现了降幂的目的，最终得到的方程为：t^3+t^2-2t-30=0。

在解这个关于t的方程时，因为出现了立方，所以可以考虑立方的相关公式进行因式分解。而30可以看成27+3，即3^3+3，所以可以分组为：(t^3-3^3)+(t^2-2t-3)=0，然后求出t的值，再反解出x的值即可。

解法二

将方程左边展开比较复杂，所以也可以不展开直接计算。同样先验证x=0不是原方程的根，然后直接在方程两边同时除以x^3，此时就可以变形为：

(1/x+1)(1/x+x)(x^2+1/x)=30。

再将得到的这个式子中第一个括号和第三个括号相乘，得到的形式就可以只用x+1/x表示出来，然后再换元，即可将方程化简。后面的过程同解法一。

解法三

除了上面的两个方法，还可以找用立方和公式将x^3+1分解，得到(x+1)(x^2-x+1)，而x+1再与方程本身中的x+1进行计算，这样就得到三个二次多项式的乘积。然后再验证x≠0后将处理后的方程两边同时除以x^3，这样就完全变形为x+1/x有关的式子，再换元后即可求解。

这道题就和大家分享到这里，你觉得这道题难吗？