竞赛题求面积最大值，几乎没人做对，关键是数形结合与参数方程

各位朋友，大家好！“数学视窗”给大家分享一道求三角形面积最大值的数学竞赛题，这道题目比较简短，条件也很少，要求的是图形面积的最大值，题目具有较大的难度。很多人看到此题后，根本无从动手，所以要弄清所给出的条件对于解题有什么作用。此题考查了等高三角形的面积之比的问题，等积变换的知识，以及数形结合与方程思想的应用等。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学竞赛题）如图，已知△ABC，且S△ABC=1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使S四边形BCDE=16/9 S△BPC，求S△DEP的最大值．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：由于此题图中有动点，并且没有给出任何线段的长度，所以可以考虑采取使用参数的方法．

设S△BPC=9k，S△BPE=ak，S△DPC=bk，S△AED=x，然后根据图中各三角形面积之间的关系，可以求得S△DEP的表达式，又由S△DEP=S四边形BCDE-S△BPC-S△EBP-S△DPC，即可得到关于参数的方程，再由a+b≥2√ab（a和b都在根号里面），即可求得S△DEP的值最大值，则可求得答案．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法）

设S△BPC=9k（为了计算方便），S△BPE=ak，S△DPC=bk，S△AED=x，

∵S四边形BCDE=16/9 S△BPC，

∴S四边形BCDE=16k，

∵S△BPE/S△DPE＝BP/PD=S△BPC/S△DPC＝9k/bk＝9/b，

（以上根据等高三角形的面积之比等于底之比）

∴S△DEP=abk/9，（代入数据变形得到）

∵S△DEP=S四边形EBCD-S△BPC-S△EBP-S△DPC

=16k-9k-ak-bk，

∴ab/9=7-a-b，

∵a+b≥2√ab（a和b都在根号里面），

（以上根据完全平方式的非负性）

∴ab/9≤7-2√ab，

∴ab+18√ab -63≤0，

（将左边分解因式）

∴（√ab +21）（√ab -3）≤0，

∵√ab≥0，

∴0≤√ab≤3，

∴仅当a=b=3时，√ab =3，

此时S△DEP的最大值为k，

∵S△ADE/S△CDE＝AD/CD=S△ABD/S△BDC，

∴x/4k＝（x+4k）/12k①，

又∵S△ABC=1，

∴x+16k=1②，

由①②得：k=1/18，

∴S△DEP最大值为1/18．

（完毕）

这道题考查了等高三角形的面积之比的问题，等积变换的知识，以及数形结合与方程思想的应用，此题难度比较大，解答本题的关键是灵活运用等高的三角形面积的比等于对应底的比，以及a+b≥2√ab（a和b都在根号里面）性质的应用。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。