奥赛几何：求扇形面积，条件少，难度大

大家好！本文和大家分享一道奥赛几何题，题目见下图。这道题的条件非常少，但是俗话说数学题往往条件越少难度越大，这道题的难度也是比较大的，没有掌握方法很难求解出答案。下面介绍本题的两种解法，供大家参考。

第一种解法：托勒密定理

托勒密定理是托勒密将依巴谷的书中的相关知识进行完善后得到，我们先来看一下托勒密定理的内容。

托勒密定理：在圆的凸内接四边形中，这个四边形两对对边的乘积之和刚好等于两条对角线的乘积。

比如在下图中，四边形ABCD是圆O的凸内接四边形，则AD·BC+AB·CD=AC·BD。

什么是凸四边形呢？简单来说就是这个四边形在任意一条边所在直线的一边。比如下图的四边形ABCD都是在四边所在直线的一边，所以是凸四边形。

知道了托勒密定理有什么用呢？

我们先来观察一下原题中两个直角三角形构成的四边形，很明显这个四边形的对角是互补的。根据圆没接四边形的判定定理可知，对角互补的四边形是圆的内接四边形。从题中的图还可以看出，这个四边形是凸四边形，所以可以直接用托勒密定理求解。

如上图，为了方便表示，分解标上字母，连接AC，并设扇形半径为r，CD=x。

在直角三角形ABD中，由勾股定理可得BE=5。

根据托勒密定理可以得到：

AD·BC+AB·CD=AC·BD，即：

3r+4x=5r，解得x=r/2①。

又在直角三角形BCD中，由勾股定理可得：BD^2=BC^2+CD^2，即：

25=r^2+x^2②。联立方程①②，解得r^2=20。所以扇形面积为圆面积的四分之一，即20π/4=5π。

第二种解法：补形法

用托勒密定理解这道题非常快，但是很多人不知道托勒密定理，那么不用托勒密定理要怎么解呢？

如下图，延长AD交BC的延长线与点E。因为BC为扇形的半径，点A在扇形的弧上，且角BAD为直角，所以BE为扇形所在圆的直径。这样就构造出了一个大的直角三角形ABE。

设扇形的半径为r，则BE=2r，AE=3+r。在直角三角形ABE中，由勾股定理得：

BE^2=AB^2+AE^2，代入数据得：

(2r)^2=4^2+(3+r)^2，解得：r=2√5。

所以扇形面积为πr^2÷4=π×(2√5)^2÷4=5π。

这道奥赛几何题的难度还是比较大的，但是解题的方法并不唯一，即使没有学过托勒密定理还是可以通过补形的方法用勾股定理求解。只是补形求解的难点就在于如何快速准确地作出辅助线，作出辅助线后，求解难度就减小了很多。

这道题就和大家分享到这里了。