一道高难度数学竞赛题：化简二次根式，学霸看完题都懵了

大家好！今天和大家分享一道高难度初中数学竞赛题：化简二次根式√(11···11-22···22)，其中共有2n个1、n个2。不少学霸看完题目后都懵了，感觉无从下手。其实这道题看起来吓人，实际难度并不算很大，下面我们一起来看一下这道题。

题目如上图。

有网友看到题目后表示，这题看起来复杂，要得到答案却不是很难。网友表示可以用几个特殊值来找一下规律，比如n=1时，原式就是√(11-2)=√9=3，n=2时，原式=√(1111-22)=√1089=33，n=3时，原式=√(111111-222)=√110889=333。从上面就可以看出，最终的答案就是33···33，其中共有n个3。

如果只是这样就简单得出答案，虽然答案是对的，但是过程却并不严谨。如果过程更严谨一些，那么需要用数学归纳法进行证明，但是这样的过程反而显得复杂，而且初中阶段并没有学习数学归纳法，所以还会有更加简单的方法。下面介绍两种完全利用初中知识就可以求解的方法。

解法1：

题目中数字比较大，看似不好计算，但是数字的规律也比较明显，我们完全可以先提出相同的部分，也就是11···11(共n个1)，则前面剩下的就是10···01(其中共有(n-1)个0)，后面的就剩下一个2。将剩下的部分先计算，可以得到99···99(共n个9)。然后可以再提出11···11(共n个1)，这样和前面提出来的就构成了11···11²(共n个1)，剩下的9为3的平方，两个都是平方直接开出来即可。

解法2：

对于这种数字大但又是某个数字重复构成的数，有一种比较常用的处理方法，那就是转化成10的多少次方的形式再计算。比如要计算6666×6666，直接计算难度还是挺大，但是可以将其中一个6666进行变形：6666=9999×6/9=(10^4-1)×6/9，这样就可以减少计算量了。

同理，这道题也可以按照这样的处理方法。比如11···11(2n个1)可以变形成99···99/9=(10^2n-1)/9，都这样变形后再提公因式，然后就可以变成一个完全平方的形式，直接开方就可以得到答案。过程如下：

这道题的难度看似很大，其实只要静下心来仔细找一下规律，还是不难得到答案。你觉得呢？