图解 | 原来这就是动态规划

1

小宇：闪客，我最近在研究动态规划，但感觉就是想不明白，你能不能给我讲讲呀？

闪客：没问题，这个我擅长，你先说说提到动态规划，你最先想到的是什么？

小宇：就什么子问题呀、状态转移方程呀乱七八糟的，哎呀不行不行，我一想到这些脑子又嗡嗡响了。

闪客：你先别急，你先把所有的名词都抛在脑后，听我讲。

小宇：好滴，你说吧。

闪客：小宇我问你，从 1 一直加到 100 等于多少？

1 + 2 + 3 + ... + 100 = ？

小宇：5050！

闪客：你这，怎么不按套路出牌呀，你应该说不知道。

小宇：人家高斯早就算出来了，我还装不知道，这也太假了吧。

全剧终...

2

闪客：好吧，那我再给你出一个题。

小宇：行，你说吧，这回我肯定说不知道。

闪客：一个楼梯有 10 级台阶，你从下往上走，每跨一步只能向上迈 1 级或者 2 级台阶，请问一共有多少种走法？

小宇：额，这我真不知道了，我想想哈。

小宇：不行了不行了，实在想不明白，想了后面的就忘了前面的。

闪客：你还是陷入了穷举的思想，你仔细想想我给你出的第一个题，看看有没有思路。

小宇：啊！原来是有关联的呀。

闪客：对呀，我本来想说假如我告诉你 1+...+99 是多少，你是不是就直接能算出 1+...+100 的值了。

小宇：哦你这么一提示我有点感觉了！要想走到第 10 级台阶，要么是先走到第 9 级，然后再迈一步 1 级台阶上去，要么是先走到第 8 级，然后一次迈 2 级台阶上去。

闪客：太棒了！你找到感觉了！接着往下说。

小宇：这样的话，走到 10 级台阶的走法数，就等于走到 9 级台阶的走法数，加上走到 8 级台阶的走法数。

闪客：很好，那假如走到第 x 级台阶的走法数我们定义为 F(x)，那你能把刚刚的描述公式化么？

小宇：那太简单了，公式就是：

F(10) = F(9) + F(8)

闪客：没错，而且不光是 10 级台阶如此，走到任何一级台阶的走法数，都符合这个逻辑，因此就可以得出一个通用公式：

F(x) = F(x-1) + F(x-2)

小宇：嗯嗯，这样计算 F(10)，只需要知道 F(9) 和 F(8) 就可以了，而计算 F(8)，就只需要知道 F(7) 和 F(6) 就可以了，依次类推。

闪客：没错，那你想想看 F(2) 和 F(1) 怎么计算？

小宇：简单，还是刚刚都逻辑被，想知道 F(2)，只需要知道 F(1) 和 F(0)，诶不对 F(0) 是什么鬼？还有 F(1) 的计算需要知道 F(0) 和 F(-1)，不行呀，这解释不通了。

闪客：哈哈，别急，在这道题里，如果只迈到 1 级台阶，那一共就一种走法；如果只迈到 2 级台阶，就只有两种走法。可以直接很直观地得出，没必要推导。

小宇：哦哦我懂了，这道题里由于每一个递推项都需要前两项的支持，所以必须有最开头的两项作为已知，就是你说的 F(1) = 1 和 F(2) = 2。

闪客：没错。

小宇：嗯嗯，感觉这样就推出全部结果了！我写一下程序你看看。

闪客：先别急，由于这道题是一道经典的动态规划题，所以我们以这道题为例子来定义动态规划的三要素，在本题中

F(x-1) 和 F(x-2) 被称为 F(x) 的最优子结构

F(x) = F(x-1) + F(x-2) 叫状态转移方程

F(1) = 1, F(2) = 2 是问题的边界

之后做动态规划问题，只要找好这三个要素就好了。

小宇：哇，升华了诶，逼格瞬间高了不少呢。

闪客：先别说这些废话了，那接下来你看看能不能写出程序，计算出 F(10) 的结果，这才是难点。

小宇：编程的话这似乎是个递归问题，简单！

int getWays(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n == 2) {
        return 2;
    }
    return getWays(n-1) + getWays(n-2);
}

闪客：嗯不错，这样很简洁，但复杂度太高了，是 O(2^n)，具体你可以之后想想为什么。现在你看看能不能将复杂度降低。

小宇：我想想看，计算 F(10) 时需要计算 F(9) 和 F(8)，而在递归计算 F(9) 时要计算 F(8) 和 F(7)，这样 F(8) 在这里重复计算了，浪费了时间。

闪客：没错，其实计算新一个阶段的值，只需要一直将其前两个阶段的值保存起来，就可以一直算到最终的结果了。比如定义两个变量 a 和 b 用于存储前两个阶段的值，在计算 F(3) 时。

台阶	1	2	3	4	...	10
走法	a=1	b=2	3

计算 F(4) 时，F(1) 的值就不用保存了，a 和 b 依次替换新值。

台阶	1	2	3	4	...	10
走法		a=2	b=3	5

依此类推，最终就算出了 F(10) 的值。

台阶	1	2	...	8	9	10
走法				a=34	b=55	89

当然你也可以把之前的值都保留，但这样就增加了空间复杂度，看你的需求了。

小宇：好的，那这样代码也很好写，就这样。

int getWays2(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n == 2) {
        return 2;
    }
    int a = 1;
    int b = 2;
    int temp = 0;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        temp = a + b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return temp;
}

闪客：不错，这就是这道题正确的动态规划解法，而且时间复杂度是 O(N)，空间复杂度是 O(1)

小宇：哇，这就是动态规划呀，原来这么简单。

3

闪客：不错，动态规划理解起来不难，难在当需要考虑的因素，也就是变化的维度多起来的时候，有的人就会头脑发蒙，不好找递推公式了，而且这也确实是个难点。

小宇：哦是吗？

闪客：那当然，我再给你出一道题。

小宇：来吧兄弟。

闪客：咳咳，那你听好了。

有一个背包，可以装载重量为 5kg 的物品。

有 4 个物品，他们的重量和价值如下。

那么请问，在不得超过背包的承重的情况下，将哪些物品放入背包，可以使得总价值最大？

小宇：明白了，就是我用这个背包最多能装走多少钱的东西。

闪客：是的。

小宇：哎呀不行，我又陷入走楼梯时的遍历思想了。

闪客：没关系，这道题能想出遍历思想，其实也不容易了，你可以先说一下，找找感觉。

小宇：嗯嗯，那就是每个物品都可以有放入背包和不放入背包两种选择。

如果总重量超过了背包承重，那就不算，或者说将价值记为 0，然后将所有情况中价值最大的那个作为结果。

这样的复杂度也很容易得出，就是 O(2^N)

闪客：没错，这个复杂度很高的算法你已经说的很明白了，那接下来你想想看用动态规划思想，能不能解决这个问题。

小宇：好的，你之前说过，动态规划的三要素是最优子结构、状态转移方程和边界

闪客：没错，之前的变量很少所以比较简单，现在变量多了，定义就变得难了起来，我们先来几个定义方便描述。我们将 4 个物品的重量和价值分别表示为：w1，w2，w3，w4，v1，v2，v3，v4。

假如我们用

F(W,i)

表示

用载重为 W 的背包，装前 i 件物品的最大价值

那本题其实就是

用载重为 5kg 的背包，装前 4 件物品的最大价值

其实就是求解

F(5,4)

你能找到状态转移方程么？

小宇：我想想，单看这个物品 4，有两种可能：

第一种可能：如果选择把它装入背包，那已经得到了 6 元钱。

此时背包剩余载重为 1kg（5kg-4kg），剩余物品是除去物品 4 后的前 3 件物品。

那这部分能获取到的最大价值，相当于

用一个载重为 1kg 的背包，装前 3 件物品的最大价值

哇，那这部分就是

F(1,3)

闪客：哈哈，你这自己说着说着就说对啦！

小宇：所以最终，如果选择将物品 4 放入背包，这种情况下，最大价值就等于二者之和。

F(1, 3) + 6

闪客：太好了小宇，那另一种情况呢？

小宇：第二种可能：如果选择不装这个物品 4，那更简单了，就直接等于用一个载重为 5 的背包装前 3 件物品的价值。

F(5, 3)

闪客：没错，而且就只有这两种情况！所以你看看 F(5,4)是否能用这两种情况的值表示呢？

小宇：哈哈，很简单，就等于这两种情况当中的最大值呗。

F(5,4) = max { F(1, 3) + 6，F(5, 3) }

闪客：太好了，现在状态转移方程出来了，此时我们画个表格。

我们的目标就是要计算右下角那个值，即背包载重 W = 5 时，选择前 4 件物品放入背包的最大价值 F(5,4)

小宇：哇这个表格好清晰呀，根据上面的公式

F(5,4) = max { F(1,3) + 6, F(5,3) }

那也就是说只要知道 F(1,3) 和 F(5,3) 的值就可以了对吧？

闪客：没错，那你再看看 F(1,3) 怎么计算？

小宇：好的，F(1,3) 此时背包重量为 1，如果选择放第三件物品的话，诶？好像不行，第三件物品根本放不下呀！

闪客：是的，所以这种情况就没必要讨论放第三件物品的情况了，因为根本放不下，因此 F(1,3) 直接就等于 F(1,2)，所以只需要知道 F(1,2) 即可。

同理 F(1,2) 也直接等于 F(1,1)，因为在背包重量为 1 时第二件物品也放不下。

闪客：小宇你想想看，那 F(1,1) 又等于什么呢？

小宇：显然嘛，现在只有一件物品可以选了，那能放下当然就放咯，所以最大价值就是第一件物品的价值 3，即 F(1,1) = 3

闪客：没错，这样我们就找到了一个边界值，小宇你想想看还有哪些边界值可以直接得出？你写在表格里吧。

小宇：好的，首先第一列表示背包重量为 0 时的情况，那显然什么都装不了，就全都是 0 了。

然后第一行也比较好算，背包重量 >= 1 时可以放下第一件物品，所以最大价值都等于 3

闪客：很好，接下来，就依次把表格的所有项都填出来，自然就可以算出 F(5,4) 啦。

小宇：哇塞，这样看好清晰呀！

闪客：是呀，不过刚刚我们用的都是具体的数字，那我们试着把这个问题抽象化，用一个载重为 W 的背包，装载 N 件物品，每件物品的重量和价值分别用 wi 和 vi 来表示，那刚刚的状态转移方程是什么呢？

小宇：emm，刚刚 F(5,4) = max { F(1,3) + 6, F(5,3) }，如果都用变量表示的话，就是

F(W,N) =max { F(W-wn, N-1) + vn，F(W, N-1) }

闪客：很好，这就是状态转移方程。

F(W-wn, N-1) 和 F(W, N-1) 就是 F(W,N) 的最优子结构。

而刚刚表格中的第一行和第一列，即 F(0,...) 和 F(...,1) 就是边界值！

小宇：哇塞我爱你闪客！终于有点理解动态规划的思想了呢！

4

闪客：别高兴太早，虽然过程看着清晰了，但代码写起来还是有难度的，你今天回去就把代码试着实现一下吧。

小宇：好的，保证完成任务。

闪客：快到晚饭时间了，旁边新开了家饺子馆，要不要一块去吃呀？

小宇：哦不了，晚上想利用晚饭时间再去消化消化动态规划的知识，不是还得代码实现呢么，下次吧，

闪客：哦好吧~

后记

 

本文通过直观演示 01 背包问题的解题思路，简单说明了动态规划思想的算法核心。可能不少人觉得动态规划难在理解，所以花很多时间在理解其思想上。但其实理解核心思想，这一篇文章就够了，更多的是通过不断做题，反过来帮助自己理解动态规划的思想。所以希望读者在读完本文后，和小宇一样，动手将其代码实现，并找来其他变种题目，继续巩固。