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浮点数的表示和精度

时间:07-17来源:作者:点击数:

如果a>0,那么1+a一定大于1吗?在数学上,答案是肯定的。但在计算机上,答案就与a的大小和浮点数的精度有关了。在matalb上,可以作以下计算:

>> a=1/2^52
a =
    2.220446049250313e-016

>> 1+a>1
ans =
     1

>> a=1/2^53
a =
    1.110223024625157e-016

>> 1+a>1
ans =
     0

可见,当a等于1/2^53时,1+a>1是不成立的。

1 浮点数

IEEE754定义了单精度浮点数和双精度数浮点数,即float和double。float有32bit,double有64bit。它们都包括符号位、指数和尾数。

  符号位 指数 尾数
float 31(1) 30-23(8) 22-0(23)
double 63(1) 62-52(11) 51-0(52)

符号位有1bit,0表示正、1表示负。设一个数的指数是e,指数部分的值是bias+e。加上一个bias是为了表示负数。 float的bias是127,double的bias是1023。指数全0或全1有特殊含义,不算正常指数。

  • float的指数部分有8bit,可以取值1~254,减掉127,得到对应的指数范围-126~127。
  • double的指数部分有11位,可以取值1~2046,减掉1023,得到对应的指数范围-1022~1023。

这里的指数是以2为底的,同样尾数也是二进制的。IEEE754要求浮点数以规范形式存储,即小数点前有1位非零数字。 对于二进制数,非零数字只有1。所以IEEE754在存储时省略了这个小数点前面的1,只存储小数点后面的位。

2 误差

看个例子,设:

	double a=0.2;

在PC上,我们可以看到a对应的存储区数据是:

9A 99 99 99 99 99 C9 3F

PC的数据是小尾的,即低位字节在后,将其写成高位字节在前,得到:

3F C9 99 99 99 99 99 9A

可见符号位为0。指数位是0x3FC,即1020,减掉1023,得到指数-3。尾数是999999999999A。所以完整的数字就是16进制的1.999999999999A乘上2^-3。即:

a=(1+9*(1/16+1/16^2+...+1/16^12)+10/16^13)*2^-3

(1/16+...+1/16^12)可以用等比级数求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)计算,其中a1=1/16,q=1/16,n=12,因此:

a=(1+9*(1-1/16^12)/15+10/16^13)*2^-3

用windows的计算器计算上式,得到

a=0.2000 0000 0000 0000 1110 2230 2462 5157

这也不是精确解,但已经可以看到用double表示0.2时存在的误差。这个例子说明在用有限字长的二进制浮点数表示任意实数a可能引入误差。 设实数a的指数为e,尾数位数为n,显然:

误差<(1/2^n)*2^e

3 精度

可以把机器精度定义为满足条件

fl(1+ε)>1

的最小浮点数ε。其中fl(1+ε)是1+ε的浮点表示。显然double的机器精度是1/2^52。float的机器精度是1/2^23。 matlab内部采用double,1+1/2^53对double来说就是1,所以1+1/2^53不会大于1。

对于规范数来说,因为小数点前默认有个1,所以float的有效数字是24bit,对应8位十进制有效数字; double的有效数字是53bit,对应16位十进制有效数字。

4 特殊的浮点数

前面提到浮点数的指数全0或全1有特殊含义,让我们来看看这些特殊的浮点数:

  • 指数和尾数都是全0表示0。根据符号位不同可以分为+0和-0。
  • 指数全0,尾数不为全0,这些数是非规范数,即尾数部分不假设前面存在小数点前的1。 或者说这些数太接近0了,因为指数已经不能再小,所以这些数不能写成规范形式。 例如:double数0000 0000 0000 0001的尾数是0 0000 0000 0001,即1/2^52,对应的数是1/(2^52)*2^-1022,即4.9406564584124654e-324。
  • 指数全1,尾数全0表示无穷大,即inf。根据符号位不同可以分为+inf和-inf。
  • 指数全1,尾数不为全0表示NaN,即Not a Number,不是数。尾数最高位为1的NaN被称作QNaN(Quiet NaN)。 尾数最高位为0的NaN被称作SNaN(Signalling NaN)。通常用QNaN表示不确定的操作,用SNaN表示无效的操作。

在计算机内部,double就是一个64位数。从0x0000 0000 0000 0000~0xFFFF FFFF FFFF FFFF,每个64位数都对应一个浮点数或NaN。 我写了一个小程序,按照64位无符号整数的顺序打印出典型的浮点数。 表格的第一列是浮点数的内部表示。为了便于阅读,按大尾顺序输出。第二列是对应的浮点数。 第三列是注释,对于非规范数和规范数给出了由内部表示计算数值的matlab算式。 注意在C/C++中,2^52要写成pow(2.0,52.0)。

0000 0000 0000 0000 0.0000000000000000e+000 +0
0000 0000 0000 0001 4.9406564584124654e-324 1/(2^52)*2^-1022
000F FFFF FFFF FFFF 2.2250738585072009e-308 .5*(1-.5^52)/(1-.5)*2^-1022
0010 0000 0000 0000 2.2250738585072014e-308 1.0*2^-1022
0010 0000 0000 0001 2.2250738585072019e-308 (1+1/2^52)*2^(-1022)
001F FFFF FFFF FFFF 4.4501477170144023e-308 (1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^-1022
0020 0000 0000 0000 4.4501477170144028e-308 1.0*2^-1021
3FF0 0000 0000 0000 1.0000000000000000e+000 1.0
3FF0 0000 0000 0001 1.0000000000000002e+000 1.0+1/(2^52)
3FFF FFFF FFFF FFFF 1.9999999999999998e+000 1+.5*(1-.5^52)/(1-.5)
4000 0000 0000 0000 2.0000000000000000e+000 1.0*2^1
7FEF FFFF FFFF FFFF 1.7976931348623157e+308 (1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^1023
7FF0 0000 0000 0000 1.#INF000000000000e+000 +INF
7FF0 0000 0000 0001 1.#SNAN00000000000e+000 SNaN
7FF7 FFFF FFFF FFFF 1.#SNAN00000000000e+000 SNaN
7FF8 0000 0000 0000 1.#QNAN00000000000e+000 QNaN
7FFF FFFF FFFF FFFF 1.#QNAN00000000000e+000 QNaN
8000 0000 0000 0000 0.0000000000000000e+000 -0
8000 0000 0000 0001 -4.9406564584124654e-324 -(1/(2^52)*2^-1022)
800F FFFF FFFF FFFF -2.2250738585072009e-308 -(.5*(1-.5^52)/(1-.5)*2^-1022)
8010 0000 0000 0000 -2.2250738585072014e-308 -(1.0*2^-1022)
8010 0000 0000 0001 -2.2250738585072019e-308 -((1+1/2^52)*2^(-1022))
801F FFFF FFFF FFFF -4.4501477170144023e-308 -((1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^-1022)
8020 0000 0000 0000 -4.4501477170144028e-308 -(1.0*2^-1021)
BFF0 0000 0000 0000 -1.0000000000000000e+000 -1.0
BFFF FFFF FFFF FFFF -1.9999999999999998e+000 -(1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))
C000 0000 0000 0000 -2.0000000000000000e+000 -(1.0*2^1)
FFEF FFFF FFFF FFFF -1.7976931348623157e+308 -((1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^1023)
FFF0 0000 0000 0000 -1.#INF000000000000e+000 -INF
FFF0 0000 0000 0001 -1.#SNAN00000000000e+000 SNaN
FFF7 FFFF FFFF FFFF -1.#SNAN00000000000e+000 SNaN
FFF8 0000 0000 0000 -1.#IND000000000000e+000 QNaN
FFFF FFFF FFFF FFFF -1.#QNAN00000000000e+000 QNaN

从表中可以看到,double内部表示的设计是很有规律的,按照对应64位数的顺序依次为 +0、正非规范数、正规范数、正无穷大、符号位为正的NaN、-0、负非规范数、负规范数、负无穷大、符号位为负的NaN。

double内部表示的设计保持了浮点数的有序性。即:如果正double数a<正double数b,则a对应的64位无符号整数<b对应的64位无符号整数。 负数因为差了个符号,所以浮点数与对应整数的顺序相反。 float也有类似的规律。

4 结束语

float和int都是32bit,但float的尾数只用了23bit。int的精度高于float,float的表示范围大于int。float牺牲精度换取了更大的表示范围。 double的尾数是52bit,高于32bit的int,所以用dobule表示int不会有精度损失。 double是科学计算的常用类型,了解double的内在和限制,有助于我们更好地使用它。

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