梯度下降法求函数最小值详解

数学知识体系中寻找二次曲线最大值和最小值的方法是令导数为0，这样的方法也可以用在求解回归算法的问题中。但是在机器学习领域中并不推崇这种思想，因为在实际应用中，使用导数为 0 的方法会增加计算机计算的复杂度，消耗大量计算资源。机器学习的求解方法则会在高维空间的求解中体现出计算的优势。

本节会详细介绍机器学习中求解回归曲线的方法——梯度下降，并以求解二次曲线为例，比较导数方法与梯度下降方法的异同，从而加深读者对梯度下降方法的理解。

1. 求解函数最小值

高中时期经常出现函数最大值、最小值的求解问题。例如，给出方程 y=x²，求其最小值（y值），以及最小值的所在位置（x值）。如图 1 所示，我们很容易看出 y=x² 的最小值是 0，最小值的位置是 x=0。在高中我们使用的求解方法如下。

图1：二次函数曲线y=x² 

已知曲线：y=x² 对其求导，y'=x 令导数等于 0 即 x=0 求得，导数求解方法的几何解释是最低点的位置是斜率为 0 的位置，也就是 y′=0 的位置。

这与机器学习有什么联系呢？其实现在比较火热的深度学习和经典的线性回归、逻辑回归算法的根本思想就是求解类二次曲线的最小值。在后续章节中会深入探讨深度学习背后的数学思想。接下来，将详细介绍机器学习中求解二次函数最小值的方法。

2. 梯度下降求解法

对于已知曲线 y=x²，我们很容易通过求导来求得最小值及其位置。但如果不知道曲线的全貌是 y=x²，又该如何求解呢？

现在已知点 x=80；y=6400，和这个点周围曲线的形状，如图 2 所示。现在的任务是找到该曲线最小值的点，那么应该如何做呢？

图2：二次函数曲线 y=x²（部分）
 

设想一下，你站在半山坡上，看不到山顶，也看不到山谷，只能看到周围的情景，如果要下山，你要怎么做呢？

对，沿着山坡最大的坡度向下走！当走到下一个位置时，再选择最大的坡度向下走，这样不停地走，就会走到山下。让我们一起来看一下这个思想在数学上的解释。回到图 2，按照下山的思想，我们应该将点（80,6400）向左移动一点。

如图 3 所示，我们从点（80,6400）移动到了点（72,5184）。同样的道理，在这个点我们再观察一下，发现应该继续向左移动。

图3：二次函数曲线 y=x²（部分）
 

如图 4 所示，我们现在移动了点（64.8,4199.04）的位置，继续观察，我们还应该向左移动，这样循环往复，我们会不会走到山底呢？

图4：二次函数曲线 y=x²（部分）
 

移动了 93 次后，最终到达了点（0,0）的位置（这里计算精度是小数点后两位），也就是说我们已经逼近了最小值点（0,0），如图 5 所示：

图5：二次函数曲线 y=x2（部分）
 

这就是梯度下降的方法。用该方法实现求解二次函数的最小值，虽然不像导数方法那么完美，能够直接定位到原点（0,0），但是只要增加迭代次数，就能无限接近最小值点。后面我们需要学习梯度下降的一些细节，比如每次步长应该如何选择。因为如果步长选择太大，很可能会越过最小值点。