高斯函数的详细分析

摘要

论文中遇到很重要的一个元素就是高斯核函数，但是必须要分析出高斯函数的各种潜在属性，本文首先参考相关材料给出高斯核函数的基础，然后使用matlab自动保存不同参数下的高斯核函数的变化gif动图，同时分享出源代码，这样也便于后续的论文写作。

高斯函数的基础

2.1 一维高斯函数

高斯函数，Gaussian Function， 也简称为Gaussian，一维形式如下：

对于任意的实数a,b,c，是以著名数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名的。高斯的一维图是特征对称“bell curve”形状，a是曲线尖峰的高度，b是尖峰中心的坐标，c称为标准方差，表征的是bell钟状的宽度。

高斯函数广泛应用于统计学领域，用于表述正态分布，在信号处理领域，用于定义高斯滤波器，在图像处理领域，二维高斯核函数常用于高斯模糊Gaussian Blur，在数学领域，主要是用于解决热力方程和扩散方程，以及定义Weiertrass Transform。

从上图可以看出，高斯函数是一个指数函数，其log函数是对数凹二次函数whose logarithma concave quadratic function。

高斯函数的积分是误差函数error function，尽管如此，其在整个实线上的反常积分能够被精确的计算出来，使用如下的高斯积分

同理可得

当且仅当

上式积分为1，在这种情况下，高斯是正态分布随机变量的概率密度函数，期望值μ=b，方差delta^2 = c^2，即

2.2 二维高斯函数

二维高斯函数，形如

A是幅值，x。y。是中心点坐标，σ_xσ_y是方差，图示如下，A= 1,x_o= 0,y_o= 0, σ_x= σ_y= 1

2.3 高斯函数分析

这一节使用matlab直观的查看高斯函数，在实际编程应用中，高斯函数中的参数有

ksize 高斯函数的大小

sigma 高斯函数的方差

center 高斯函数尖峰中心点坐标

bias 高斯函数尖峰中心点的偏移量，用于控制截断高斯函数

为了方便直观的观察高斯函数参数改变而结果也不一样，下面的代码实现了参数的自动递增，并且将所有的结果图保存为gif图像，首先贴出完整代码：

 function mainfunc()
% 测试高斯函数，递增的方法实现高斯函数参数的改变对整个高斯函数的影响，
% 并自动保存为gif格式输出。
% created by zhao.buaa 2016.09.28

%% 保存gif动画
item = 10;      % 迭代次数
dt = 1;             % 步长大小
ksize =20;      % 高斯大小
sigma = 2;      % 方差大小
% filename = ['ksize-' num2str(ksize) '--' num2str(ksize+dt*item) '-sigma-' num2str(sigma) '.gif']; %必须预先建立gif文件
filename = ['ksize-' num2str(ksize)  '-sigma-' num2str(sigma) '--' num2str(sigma+dt*item) '.gif']; %必须预先建立gif文件

% main loop
for i = 1:item
    center  = round(ksize/2);          % 中心点
    bias       = ksize*10/10;              % 偏移中心点量
    ksigma = ksigma(ksize, sigma, center, bias);    % 构建核函数
    tname  = ['ksize-' num2str(ksize) '-sigma-' num2str(sigma) '-center-' num2str(center)];
    figure(i), mesh(ksigma), title(tname);
    %设置固定的x-y-z坐标范围，便于观察，axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
    axis([0 ksize 0 ksize 0 0.008]);  view([0, 90]);% 改变可视角度   
    % ksize 递增
%     ksize = ksize + 10;
    % sigma 递增
    sigma = sigma + dt;     
    
    % 自动保存为gif图像
    frame = getframe(i);
    im = frame2im(frame);
    [I,map] = rgb2ind(im,256);
    if i==1
        imwrite(I,map,filename,'gif','Loopcount',inf, 'DelayTime',0.4);
    else
        imwrite(I,map,filename,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
    end
end;

close all;


%% 截断高斯核函数，截断的程度取决于参数bias
function ksigma = ksigma(ksize, sigma, center,bias)
%ksize = 80;    sigma = 15;
ksigma=fspecial('gaussian',ksize, sigma);   % 构建高斯函数
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if(  (i<center-bias)||(i>center+bias)||(j<center-bias)||(j>center+bias)  )
            ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;

结果图：

固定ksize为20，sigma从1-9，固定center在高斯中间，并且bias偏移量为整个半径，即原始高斯函数。

随着sigma的增大，整个高斯函数的尖峰逐渐减小，整体也变的更加平缓，则对图像的平滑效果越来越明显。

保持参数不变，对上述高斯函数进行截断，即truncated gaussian function，bias的大小为ksize*3/10，则结果如下图：

truncated gaussian function的作用主要是对超过一定区域的原始图像信息不再考虑，这就保证在更加合理的利用靠近高斯函数中心点的周围像素，同时还可以改变高斯函数的中心坐标，如下图：

为了便于观察截断的效果，改变了可视角度。

高斯核函数卷积

论文中使用gaussian与feature map做卷积，目前的结果来看，要做到随着到边界的距离改变高斯函数的截断参数，因为图像的边缘如果使用原始高斯函数，就会在边界地方出现特别低的一圈，原因也很简单，高斯函数在与原始图像进行高斯卷积的时候，图像边缘外为0计算的，那么如何解决边缘问题呢？

先看一段代码：

% 截断高斯核函数
ksize = 40; ksigma=fspecial('gaussian',  ksize, 6);
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if( i<25 )
           ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;
figure, mesh(ksigma);

在i，即row上对高斯核函数进行截断，bias为半径大小，则如图6

并且对下图7进行卷积，

首先卷积核为原始未截断高斯核函数，则结果如图8

可以看出，在图像边缘处的卷积结果出现不想预见的结果，边缘处的值出现大幅度减少的情况，这是高斯核函数在边缘处将图像外的部分当成0计算的结果，因此，需要对高斯核函数进行针对性的截断处理，但是前提是要掌握bias的规律，下面就详细分析。

如果使用图6的高斯核函数与图7做卷积操作，则如图9：

可以看出，相比较于图8，与高斯核函数相对应的部分出现了变化，也就是说：

        if( i<25 )
           ksigma(i,j) = 0;
        end;

靠近边缘的时候，改变 i 或 j 的值，即可保证边缘处的平滑处理。但是这样改变高斯核函数，使用matlab不是很好解决这个问题，还是使用将待处理图像边缘向外部扩展bias的大小，与标准高斯核函数做卷积，再将超过原始图像大小的部分剪切掉，目前来看在使用matlab中imfilter函数做卷积运算最合适且最简单的处理方法了，先写在这里，此部分并不是论文中的核心部分，只是数值运算的技巧性编程方法。