顶点式线性平均内插拟合算法

最近用Matlab做了各种不同模型的三维数据的仿真实验 ，不少需要对三维数据进行拟合，matlab 自带一个拟合工具箱（cftool），确实强大，使用工具箱做数据拟合省不少事，对数据集足够的原始模型而言，cftool能很准确的拟合出我们想要的结果。当然我们不讲Matlab ，本篇通篇跟Matlab毫无关系，~~话讲多了，下面开始。

一、数据原型

首先导入一张完整的数据表格，我们可以看到这是一个y=9 x=15 ，大小是9x15的矩阵，矩阵每个元素对应一个数值z，第二张图是我们在第一张图里面的数据对应位置挑出来的数据。大小是3x5的有效矩阵。

这样我们就在原始数据虚拟出了一个残缺度高达90%左右的数据，那我们后面的内插拟合就是针对这个残缺数据而做相应的计算。

二、插值拟合

1、概念导入

给你两个数，（129 192）让你在这两个数中间线性插入一个值，那我们插入的方式其实有很多，例如在二维平面线性 B2 =（A1+A2）/2, 或三维空间线性，我们用到如下。

A： 192 129

B ：192 157 129

2、一阶拟合

经过上述的概念导入，我们接下对我们残缺数据进行一阶插值，参考下面公式

黑色框为有效的顶点数据，我们用算法遍历任意两个顶点中，只要有一个是有效数据(黑框的，这点很重要，很重要，很重要，重要的事情说三遍)插一个数据(蓝色框数据)，如行相邻的129与192两个顶点内插157，129与267两个相邻顶点内插186。结果如下图所示。

第一阶内插完了吗？ 不，再看上面的数据。插完第一轮后新增相邻顶点还需要内插，由于我的数据矩阵不大，第二轮插完后我的数据已经找不到相邻空白点了。如果数据矩阵非常大，在算法实现上，这个节点我们的代码可以写成递归形式，直到插完才开始退栈(效果如下)。

>3、二阶拟合

我们的二阶拟合完全是根据一阶拟合的结果来调整的，我的二阶设计是通过四个有效顶点（黑色框框为有效顶点，重要的事情说一遍）内插一个绿框数据。AD对角，BC对角，参考如下公式

注：插完之后不执行一阶拟合，一阶是需要黑框数据支持，任意两个蓝色、绿色数据不需要。

为了好看些，我把一阶的内容拿掉，如果一阶拟合出来的结果不是我下面的模型，需要进行模型转换。具体怎么弄，自己想想看，或给我留言吧(核心私聊)。

4、三阶拟合

三阶插值跟二阶插值基本是一样的，唯一不一样的地方：任意四个顶点（不限定是否黑框），参考上面公式插入。得到第二个图。

5、删除辅助点

最后告诉大家，上面除了黑色框框的为有效数据，其他颜色框框的为辅助数据，类似于解几何题作的辅助线。现在把他删掉吧。参考删除之后的结果如下。

6、与数据原型比较偏差

平均偏差7%最大偏差22%，相对来说拟合度挺好的，别忘了我只有10%的数据，要拟合90%的数据。

7、结果输出

8、总结

95%时间在想办法，5%的时间把办法写成代码。看完本篇，是否曲面拟合可以轻松搞定了？

(此算法是建立在对称，规则的模型基础上滴，暂未试过不规则模型的适应性)。走之前请点赞！