程序员的算法趣题Q59: 合并单元格的方式

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1. 问题描述

2. 解题分析

似曾相似燕归来。。。

第一感就认出了这道题目跟之前“Q32：榻榻米的铺法”的相似之处，本题完全可以看作是Q32的增强版。在Q32中，榻榻米的尺寸是固定的1x2的大小。而本题可以看作是用任意尺寸长方形或正方形对房间铺设的问题！

基于这一认识，可以直接基于Q32的题解进行一些适当修改就可以的得到本题的题解。喜欢挑战的小伙伴如果没有做过前面的Q32（或者做过了但是记忆模糊了）的话，可以先独立做做这道题目，如果卡住了再回头去看一下Q32的题解看看能不能得到启发。最后还是卡住了的话，再看以下题解。

基于Q32的题解方案，有以下要点：

外加围栏，以方便判断
行扫描（或者列扫描也可以，道理相同），以很小的冗余扫描代价来换取巨大的判断简化的利益
从某一个点出发的可能的合并（对应于榻榻米铺法）方法的遍历。

第3点这是本题与Q32的本质的差异点。这里就不解释了，直接看代码很简单明了。单就代码而言甚至比Q32的还要简单。

其中利用到了numpy.any()函数用于判断某矩形区域内是否全0。因为本题中并没有要求给出合并方案的图示化（事实上也不可能，因为种类数之多远远超出了直感），所以在递归调用时没有给合并块（“榻榻米”）编号并标记到格点内，而只是简单地用“0”表示空格，“1”表示已经被合并的格子。

3. 代码及测试

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Oct 16 08:23:03 2021

@author: chenxy
"""

import sys
import time
import datetime
import math
# import random
from   typing import List
# from   queue import Queue
# from   collections import deque
import itertools as it
import numpy as np

H = 4 # Height, vertical
W = 4 # Width,  horizontal

# cells initialization, with a guard band surrounding the original cells
# The guard band is initialized to '-1' to simplify the judgement processing.
cells = np.zeros((H+2, W+2))
cells[0,:] = -1
cells[H+1,:] = -1
cells[:,0] = -1
cells[:,W+1] = -1

count = 0

def combine_cells(h,w)->int:
    '''
    Parameters
    ----------
    (h,w) : The current exploration point. 
            h represents row index, w represents col index.
    Returns: int
        The number of total arrangement starting from the point (h,w), together 
        with the current cells status, which is a global variable

    '''        
    global count
    
    # print(h,w,idx)
    if   h == H + 1:
        count = count + 1
        # print(cells)    
    elif w == W + 1: 
        # Reach the right boundary, go to explore the next row from the left 
        combine_cells(h+1, 1)
    elif cells[h,w] > 0: 
        # This grid has been occupied, move to the right one
        combine_cells(h, w+1)
    else:
        for i in range(h,H+1):
            for j in range(w,W+1):
                # Judge whether (h,w)--(i,j) ractangulat can be combined.
                # Here, (h,w) represents top-left corner, (i,j) represent right-down corner
                if ~np.any(cells[h:i+1,w:j+1]):
                    cells[h:i+1,w:j+1] = 1
                    combine_cells(h, j+1)
                    cells[h:i+1,w:j+1] = 0
                            
tStart = time.perf_counter()
combine_cells(1, 1)
tCost  = time.perf_counter() - tStart
print('count = {0}, tCost = {1:6.3f}(sec)'.format(count,tCost))

运行结果：count = 70878, tCost = 1.471(sec)