线性回归算法深入理解

线性回归算法就是已知样本分布，选择合适的曲线对样本进行拟合，然后用拟合曲线预测新的样本。

假设坐标系中有三点 (1,2),(3,1),(3,3)，如图 1 所示：

图1：坐标系中三点

我们的目的是找到一条经过点（0,0）的直线去拟合它们。如果不使用数学工具，直接用手画的话，很容易获得这样的直线，如图 2 所示。图 2 中的曲线最大程度上拟合了这 3 个点。那么如何用数学方法获得这个直线呢？

图2：手画拟合直线

1. 数学角度解释回归曲线

以上面的假设为例，用数学的思想描述回归曲线就是，要找到一条过 0 点的直线，使得 3 个点到这条直线的距离最小。首先将这条直线表示为：

问题再次简化，我们只需要找到最合适的 θ，使得 3 个点到直线距离最小。计算损失函数，即计算 3 个点到直线的距离：

上式中括号里面计算的是我们假设函数到真实值的距离，1/3 用于求平均值，1/2 为了方便推导添加的系数。我们将公式 h(x) 代入公式 J(θ) 中，化简后公式推导可得：

这是一个二次函数，所以可以用梯度下降的方法求得其最小值。

2. 梯度下降法求解最优直线

先随机初始化一条直线（见图 3）：

它的损失函数：

图3：初始化直线

设置学习速率 α=0.01，如图 4 所示，直线初始化位置 h(x)=22.78x，图 4 中的右图记录了每次迭代直线的位置。迭代 124 次后得到了最优的直线。迭代过程的具体数据如表 4 所示。

图4：梯度下降法求最优曲线

直线与损失函数之间的关系：

图6：直线与损失函数之间的关系

至此，我们通过梯度下降方法求解了机器学习中的一个重要问题——线性回归。您是否已经通过这个过程理解了“机器学习”中“学习”的意思了呢？在求解最优直线过程中，我们随机假设一条直线，然后获得它与最优解的距离（差距），找到最优解的方向（曲线斜率），然后按照这个方向以一定步长（学习速率α）不断地移动（学习过程），最终得到最优解。这就是“机器学习”中的“学习”。

3. 导数求解与梯度下降

为什么在得到损失函数 J(θ) 后不直接令 J(θ)=0 而求得最优的参数呢？如果这样则只需要一步，且可以获得最优解，而不是像梯度下降方法一样，只能无限接近。

这是因为我们所举的例子中只有一个参数 θ，而在现实应用中可能有 n 个参数 θ，随着 θ 数量的增加，导数求解方法的复杂度会急剧上升，计算的性能会下降。这时梯度下降的优势就展现出来了，即使在面对高维空间求解（多个参数θ）时，梯度下降的计算性能也会很好。

4. 设置学习速率α与迭代次数

学习速率 α 与迭代次数设置的具体情况应该看具体的模型以及损失函数。在实际应用中我们可以打印出每一次迭代的所有数据，与图 4 的的情况比对，从而得出最优的学习速率 α。一般情况下，取 α=0.001。

迭代次数也是决定最终模型好坏的关键因素。在第一次迭代模型的时候可以设置一个比较大的值，然后每次迭代观察系数的变化，根据这些值获得最优的迭代值。一般设置迭代次数为 1000。