经典算法之详解河内之塔

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河内之塔(Towers of Hanoi)是法国人M.Claus(Lucas)于1883年从泰国带至法国的，河内为越战时北越的首都，即现在的胡志明市；1883年法国数学家Edouard Lucas曾提及这个故事，据说创世纪时Benares有一座波罗教塔，是由三支钻石棒（Pag）所支撑，开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小至大排列的金盘（Disc），并命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒，且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则，若每日仅搬一个盘子，则当盘子全数搬运完毕之时，此塔将毁损，而也就是世界末日来临之时。

我们来把这个故事变成一个算法：

把三个柱子标为ABC 如果只有一个盘子时，将它直接搬到c，当有两个盘子，就将B做为辅助。如果盘数超过2个，将第三个以下的盘子遮起来，就很简单了，每次处理两个盘子，也就是A->B A->C B->C这三个步骤，而被遮住的部分是一个递归处理。如果有n个盘子，则移动完毕所需的次数为2^n-1。

看一下图，代码我会用c#和c++两种语言给出算法，然后我会把算法详细分解给大家

c++代码

void hanoi(int n,char A,char B,char C)
{
	if(n==1)
	{
		cout<<"Move "<<n<<" from "<<A<<"  to "<< C <<endl;
	}
	else
	{
		hanoi(n-1,A,C,B); //把A柱子上第N-1个盘子通过C放到B柱子上
		cout<<"Move "<< n<<" from "<< A <<" to "<< C <<endl;
		hanoi(n-1,B,A,C); //把B上所有盘子通过A放到C上
	}
}


int main()
{
	cout<<"请输入盘子数量"<<endl;
	int n;
	cin>>n;
	hanoi(n,'A','B','C');
	return 0;
}

c#代码

static void Main(string[] args)
       {
           Console.WriteLine("输入盘子数量");
           int _n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
           Hanoi(_n, 'A', 'B', 'C');
           
           Console.ReadLine();
       }

       static void Hanoi(int n, char A, char B, char C)
       {
           if (n == 1)
           {
               Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);
           }
           else
           {
               Hanoi(n - 1, A, C, B);
               Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);
               Hanoi(n - 1, B, A, C);
           }
       }

我们用数量为3个盘子的时候来看一下这个Hanoi(int n, char A, char B, char C)方法

1.Hanoi(n - 1, A, C, B);这个递归是把n-1个盘子按从大到小的顺序放到B柱子上,

也就是n为3-1=2个盘子的时候,即Hanoi(2,A,C,B);

这个时候的B是原来的C，C为原来的B

n>1还要访问Hanoi(n - 1, A, C, B);也就是Hanoi(1,A,C,B);会把A柱子最上边的1盘子放到C柱子上去

n为2 时执行完 Hanoi(n - 1, A, C, B);

Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);这是把A柱子上的第2盘子放到B(因为这个时候的C为B)柱子上去

Hanoi(n - 1, B, A, C);这相当于Hanoi(1,C,A,B) 把C柱子上的1盘子放到B上

2.Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);

把A柱子上的最后一个盘子3放到C柱子上

到这个时候 A柱子已经空了

B柱子上最小的盘子1在2盘子上边