从格雷果里到莱布尼兹到约翰梅钦的圆周率计算公式之Python实现

1671年，英国天文学家詹姆斯·格雷果里（James Gregory）提出了一个反正切函数的幂级数展开式，即

又已知，

也就是

把x=1带入格雷果里幂级数展开式得到

这就是著名的用来计算圆周率近似值的莱布尼兹公式。

参考代码：

上面的莱布尼兹公式收敛速度非常慢，用来计算圆周率近似值的效果并不是很好，需要计算很多很多很多项才能得到稍微满意的圆周率近似值。

后来有不少学者提出了改进算法，我国清朝数学家曾纪鸿（曾国藩次子）也对此做出过不小的贡献。

1706年英国天文学家约翰·梅钦（John Machin）提出了一个非常巧妙的公式可以精确计算圆周率的任意小数位，

将其使用格雷果里幂级数展开，得

参考代码：

上面程序虽然利用了标准库decimal提供的高精度实数并且设置了很大的小数位数，但仍受到精度的限制，每次计算都存在舍入误差，计算结果仍差强人意。

改写上面的梅钦公式，等号两边同时乘以10的N次方，把实数运算变为整数运算，可以准确计算圆周率任意位小数。

参考代码：