Python版组合数计算方法优化思路和源码

总体说明：本文的优化思路并不局限于Python，但C、C++、C#、Java等语言无法使用内置类型直接表示大整数，需要通过数组等特定形式并自己实现大整数乘除法才能实现，因此本文只介绍Python语言的实现。

按照标准的组合数公式，再结合Python标准库的阶乘函数factorial()，很容易写出下面的代码：

def cni(n, i):

    from math import factorial

    return factorial(n) // factorial(i) // factorial(n-i)

但是，在上面代码的执行过程中，很多计算是重复的，于是我在《Python可以这样学》和《Python程序设计开发宝典》中给出了下面的优化思路和代码，大幅度减少了重复的计算，提高了计算效率。主要思路是对组合数计算公式的分子分母进行展开，并约去重复计算。

def cni1(n,i):

    result=1

    Min,Max=sorted((i, n-i))

    for i in range(n,0,-1):

        if i> Max:

            result *=i

        elif i <= Min:

            result =result // i

    return result

非常感谢浙江温州永嘉县教师发展中心应根球老师又对这个算法进行了进一步优化，提供了下面的两段等价代码，通过自然数分布的对称性和一乘一除的结合，有效避免了中间结果过大而导致效率降低的问题。

def cni2(n,i):

    result = 1

    for j in range(0, i):

        result = result * (n-j) // (j+1)

    return result

def cni3(n,i):

    result = 1

    for j in range(1, i+1):

        result = result * (n-i+j) // j

    return result

下面是测试代码，大家可以修改参数进行更多测试，也欢迎提供更好的优化思路和代码。

n = 100000

i = 52019

print(cni1(n,i))

print(cni(n,i) == cni1(n,i)==cni2(n,i)==cni3(n,i))