任意给出一个三角形ΔABC,设其顶点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3),那么根据线性代数的知识,ΔABC的有向面积可表示为:
其中,ΔABC顶点A、B、C逆时针给出时有向面积为正,顺时针给出时有向面积为负。如图1所示,S∆ABC>0、S∆ABD<0.
我们知道任意的多边形都可以分割成多个三角形,根据以上三角形面积公式就可以求出任意多边形的面积。如图2所示的六边形顶点坐标分别为O(x0, y0),A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3),D(x4, y4),E(x5, y5),则其面积可以表示为四个三角形面积之和:S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD+S∆ODE
其中:
所以
即
在这里,前文给出的多边形示例是一个凸多边形,那么这一结论适用于凹多边形吗?下面我们看看如图3所示的凹多边形。
按照上面的思路,这里的凹多边形面积表示为:S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD,从前面介绍可以知道
S∆OAB=-S∆OBA<0,所以很明显上式是成立的,即此公式也适用于凹多边形。
经过以上分析,给出任意一个多边形,其顶点坐标依次为(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)(其中n=2,3,4,…),则其面积可表示为:
换句话说,若已知多边形边上的每一点坐标,我们就可以求出该多边形的面积,包括如图4所示的曲线图形,当从O点到A点到O点的曲线上每一点坐标都已知时就能求出该曲线图的面积。
下面是代码示例
<script>
function square(x,y) {
//数组x,y分别按顺序存储各点的横、纵坐标值
var sum0=0;
for (var i = 0; i < x.length - 1; i++) {
sum0 += (x[i] * y[i + 1] - x[i + 1] * y[i]);
}
var square = (Math.abs(sum0 + (x[i] * y[0]) - (x[0] * y[i]))) / 2;
return square;
}
</script>