关于补码学习笔记

补码背景

很久很久以前，当我参加 NOIP（信息学奥林匹克竞赛）的时候，老师是这么讲补码的：

int 型数据的最高位是符号位，符号位为 0 就代表这是正数，为 1 就是负数。但是，+0 和 -0 理应是同一个数，但在二进制中却表示成了两个不同的数（以 8 位为例，二进制表示）： 00000000 和 10000000。所以，我们引入了补码，补码就是，对负数而言，符号位不变，其他位取反，然后再加 1。于是， -0 的补码就是 10000000 -> 11111111 -> 00000000 与 +0 一致了。

补码的意义

其实当时我就该意识到，仅仅为了 0 这一个数便创建了“补码”这个概念，未免太浪费了。我最近看了 CS: APP 这本书，才进一步理解了补码。

补码，就是为有符号整数而创建的概念。对于无符号整数，是不存在“补码”的概念的。我们先看一个无符号数 00100101，它是怎么转换成十进制的？加权求和，0×2^7+0×2^6+1×2^5+0×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=37；无符号数 10000011，1×2^7+0×2^6+0×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=131。

对于有符号数呢？假如我们不用补码，那么有符号数 10000011，就是 -(0×2^6+0×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0)=-3。人这么算起来是挺舒服，但是计算机会很难受，凭什么我最高位的权值没了？只能做符号？

然后我们试试补码。10000011 的补码是 11111101，如何用补码求它的十进制呢？其实这跟无符号数是一样的，只不过，最高位的权值，不是 2^7，而是 -2^7。求值：1×(-2^7)+1×2^6+1×2^5+1×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=-3，是不是很神奇？

对于正数而言，就更简单了，与无符号数一致。

补码再探

计算机只能做加法（不是），所以，我们看看用补码做加法，有什么好处。

先计算 -13+10 吧，很简单的二进制竖式加法：

11111101 即为 -3 的补码。

再算一个，-8+9：

神奇吗？最高位的 0 不见了，变成正数 1 了。

补码小结

补码，就是计算机内部有符号数的存储方式，我们不要认为补码是由原码“转换”而来的，补码本来就代表了实际的数字，11111101 == -3，就这样。