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算法及其时间复杂度和空间复杂度的习题

时间:02-21来源:作者:点击数:

一、单项选择题

1.个算法应该是( )。
A.程序    B.问题求解步骤的描述    C.要满足五个基本特性    D. A和C

2.某算法的时间复杂度为O(n2),表明该算法的( )。
A.问题规模是n2    B.执行时间等于n2
C.执行时间与n2成正比    D.问题规模与n2成正比

3.以下算法的时间复杂度为( )。

void fun(int n) {
    int i=l;
    while(i<=n)
        i=i*2;
}

A. O(n)    B. O(n2)    C. O(nlog2n)    D. O(log2n)

4.【2011年计算机联考真题】设n是描述问题规模的非负整数,下面程序片段的时间复杂度是()。

x=2;
while(x<n/2)
    x=2*x;

A. O(log2n)    B. O(n)    C. O(nlog2n)    D. O(n2)

5.【2012年计算机联考真题】求整数n (n>=0)阶乘的算法如下,其时间复杂度是( )。

int fact(int n){
    if (n<=l) return 1;
    return n*fact(n-1);
}

A. O(log2n)    B. O(n)    C. O(nlog2n)     D. O(n2)

6.有以下算法,其时间复杂度为( )。

void fun (int n){
    int i=0;
    while(i*i*i<=n)
        i++;
}

A. O(n)      B. O(nlogn)    C.      D. 

7.程序段

for(i=n-l;i>l;i--)
   for(j=1;j<i;j++)
       if (A[j]>A[j+l])
           A[j]与 A[j+1]对换;

其中n为正整数,则最后一行的语句频度在最坏情况下是( )。
A. O(n)    B. O(nlogn)    C. O(n3)    D. O(n2)

8.以下算法中加下划线语句的执行次数为()。

int m=0, i, j;
for(i=l;i<=n;i++)
   for(j=1;j<=2 * i;j++)
      m++;

A. n(n+1)    B. n    C. n+1    D. n2

9.下面说法错误的是( )。
Ⅰ.算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间
Ⅱ.在相同的规模n下,复杂度O(n)的算法在时间上总是优于复杂度O(2n)的算法
Ⅲ.所谓时间复杂度是指最坏情况下,估算算法执行时间的一个上界
Ⅳ.同一个算法,实现语言的级别越高,执行效率就越低
A. Ⅰ      B. Ⅰ、Ⅱ      C. Ⅰ、Ⅳ      D. Ⅲ

二、综合应用题

1.一个算法所需时间由下述递归方程表示,试求出该算法的时间复杂度的级别(或阶)。

式中,n是问题的规模,为简单起见,设n是2的整数幂。

2.分析以下各程序段,求出算法的时间复杂度。 

// 程序段①
i=l;k=0;
while(i<n-l){
    k=k+10*i;
    i++;
}
// 程序段②
y=0;
while((y+1)*(y+1)<=n)
    y=y+1;
// 程序段③
for(i=l;i<=n;i++)
    for(j =1;j <=i;j ++)
        for(k=l;k<=j;k++)
            x++;
// 程序段④
for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<m;j++)
        a[i] [j]=0;

答案与解析

一、单项选择题

1.    B
程序不一定满足有穷性,如死循环、操作系统等,而算法必须有穷。算法代表了对问题求解步骤的描述,而程序则是算法在计算机上的特定的实现。

2.    C
时间复杂度为O(n2),说明算法的执行时间T(n)<=c * n2(c为比例常数),即T(n)=O(n2),时间复杂度T(n)是问题规模n的函数,其问题规模仍然是n而不是n2

3.    D
基本运算是i=i*2,设其执行时间为T(n),则2T(n)<=n,即T(n)<=log2n=O(log2n)。

4.    A
在程序中,执行频率最高的语句为“x=2*x”。设该语句共执行了 t次,则2t+1=n/2,故t=log2(n/2)-1=log2n-2,得 T(n)=O(log2n)。

5.    B
本题是求阶乘n!的递归代码,即n*(n-1)*...*1共执行n次乘法操作,故T(n)=O(n)。

6.    C
算法的基本运算是i++,设其执行时间为T(n),则有,T(6)*T(n)*T(n)<=n,即T(n)3<=n。故有,。更加直观和快速的解题方法:要计算语句i++的执行次数(由于每执行一次i加1),其中判断条件可理解为i3=n,即,因此有

7.    D
当所有相邻元素都为逆序时,则最后一行的语句每次都会执行。此时,

所以在最坏情况下的该语句频度是O(n2)。

8.    A
m++语句的执行次数为

9.    A
Ⅰ,算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量。Ⅱ,题中是指算法的时间复杂度,不要想当然认为是程序(该算法的实现)的具体执行时间,而赋予n—个特殊的值。时间复杂度为O(n)的算法,必然总是优于时间复杂度为O(2n)的算法。Ⅲ,时间复杂度总是考虑在最坏情况下的时间复杂度,以保证算法的运行时间不会比它更长。Ⅳ为严蔚敏教材的原话。

二、综合应用题

1.解答:

时间复杂度为O(nlog2n)。设n=2k(k>=0),根据题目所给定义,有,由此,可得一般递推公式,进而,可得,即,即为

2.解答:

①基本语句是k=k+10*i,共执行了n-2次,所以T(n)=O(n)。

②设循环体共执行T(n)次,每循环一次,循环变量y加1,最终T(n)=y。故(T(n))2<=n,解得 T(n)=O(n1/2)。

③    x++是基本语句,

④a[i][j]=0是基本语句,内循环执行m次,外循环执行n次,共执行了    m*n次,所以 T(m, n)=O(m*n)0 

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