拓扑排序指的是将有向无环图(又称“DAG”图)中的顶点按照图中指定的先后顺序进行排序。
例如,图 1 中的两个图都是有向无环图,都可以使用拓扑排序对图中的顶点进行排序,两个图形的区别是:左图中的 V2 和 V3 之间没有明确的前后顺序;而右图中任意两个顶点之间都有前后顺序。
在有向无环图中,弧的方向代表着顶点之间的先后次序,例如从 V1 指向 V2 的弧表示在进行排序时 V1 在前, V2 在后。
全序是偏序的一种特殊情况。对于任意一个有向无环图来说,通过拓扑排序得到的序列首先一定是偏序,如果任意两个顶点都具有前后顺序,那么此序列是全序。
对有向无环图进行拓扑排序,只需要遵循两个原则:
例如,在对图 1 中的左图进行拓扑排序时的步骤如图 2 所示:
有向无环图如果顶点本身具有某种实际意义,例如用有向无环图表示大学期间所学习的全部课程,每个顶点都表示一门课程,有向边表示课程学习的先后次序,例如要先学《程序设计基础》和《离散数学》,然后才能学习《数据结构》。所以用来表示某种活动间的优先关系的有向图简称为“AOV网”。
进行拓扑排序时,首先找到没有前驱的顶点 V1,如图 2(1)所示;在删除顶点 V1 及以 V1 作为起点的弧后,继续查找没有前驱的顶点,此时, V2 和 V3 都符合条件,可以随机选择一个,例如图 2(2) 所示,选择 V2 ,然后继续重复以上的操作,直至最后找不到没有前驱的顶点。
所以,针对图 2 来说,拓扑排序最后得到的序列有两种:
在编写程序解决拓扑排序的问题时,大致思路为:首先通过邻接表将 AOV 网进行存储,由于拓扑排序的整个过程中,都是以顶点的入度为依据进行排序,所以需要根据建立的邻接表统计出各顶点的入度。
在得到各顶点的入度后,首先找到入度为 0 的顶点作为拓扑排序的起始点,然后查找以该顶点为起始点的所有顶点,如果入度为 1,说明如果删除前一个顶点后,该顶点的入度为 0,为拓扑排序的下一个对象。
实现代码:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数
#define VertexType int//顶点数据的类型
typedef enum{false,true} bool;
typedef struct ArcNode{
int adjvex;//邻接点在数组中的位置下标
struct ArcNode * nextarc;//指向下一个邻接点的指针
}ArcNode;
typedef struct VNode{
VertexType data;//顶点的数据域
ArcNode * firstarc;//指向邻接点的指针
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//存储各链表头结点的数组
typedef struct {
AdjList vertices;//图中顶点及各邻接点数组
int vexnum,arcnum;//记录图中顶点数(<100)和边或弧数
}ALGraph;
//找到顶点对应在邻接表数组中的位置下标
int LocateVex(ALGraph G,VertexType u){
for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
if (G.vertices[i].data==u) {
return i;
}
}
return -1;
}
//创建AOV网,构建邻接表
void CreateAOV(ALGraph **G){
*G=(ALGraph*)malloc(sizeof(ALGraph));
scanf("%d,%d",&((*G)->vexnum),&((*G)->arcnum));
for (int i=0; i<(*G)->vexnum; i++) {
scanf("%d",&((*G)->vertices[i].data));
(*G)->vertices[i].firstarc=NULL;
}
VertexType initial,end;
for (int i=0; i<(*G)->arcnum; i++) {
scanf("%d,%d",&initial,&end);
ArcNode *p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
p->adjvex=LocateVex(*(*G), end);
p->nextarc=NULL;
int locate=LocateVex(*(*G), initial);
p->nextarc=(*G)->vertices[locate].firstarc;
(*G)->vertices[locate].firstarc=p;
}
}
//结构体定义栈结构
typedef struct stack{
VertexType data;
struct stack * next;
}stack;
//初始化栈结构
void initStack(stack* *S){
(*S)=(stack*)malloc(sizeof(stack));
(*S)->next=NULL;
}
//判断链表是否为空
bool StackEmpty(stack S){
if (S.next==NULL) {
return true;
}
return false;
}
//进栈,以头插法将新结点插入到链表中
void push(stack *S,VertexType u){
stack *p=(stack*)malloc(sizeof(stack));
p->data=u;
p->next=NULL;
p->next=S->next;
S->next=p;
}
//弹栈函数,删除链表首元结点的同时,释放该空间,并将该结点中的数据域通过地址传值给变量i;
void pop(stack *S,VertexType *i){
stack *p=S->next;
*i=p->data;
S->next=S->next->next;
free(p);
}
//统计各顶点的入度
void FindInDegree(ALGraph G,int indegree[]){
//初始化数组,默认初始值全部为0
for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
indegree[i]=0;
}
//遍历邻接表,根据各链表中结点的数据域存储的各顶点位置下标,在indegree数组相应位置+1
for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
ArcNode *p=G.vertices[i].firstarc;
while (p) {
indegree[p->adjvex]++;
p=p->nextarc;
}
}
}
void TopologicalSort(ALGraph G){
int indegree[100];//创建记录各顶点入度的数组,数量为 G.vexnum
FindInDegree(G,indegree);//统计各顶点的入度
//建立栈结构,程序中使用的是链表
stack *S;
initStack(&S);
//查找度为0的顶点,作为起始点
for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
if (!indegree[i]) {
push(S, i);
}
}
int count=0;
//当栈为空,说明排序完成
while (!StackEmpty(*S)) {
int index;
//弹栈,并记录栈中保存的顶点所在邻接表数组中的位置
pop(S,&index);
printf("%d",G.vertices[index].data);
++count;
//依次查找跟该顶点相链接的顶点,如果初始入度为1,当删除前一个顶点后,该顶点入度为0
for (ArcNode *p=G.vertices[index].firstarc; p; p=p->nextarc) {
VertexType k=p->adjvex;
if (!(--indegree[k])) {
//顶点入度为0,入栈
push(S, k);
}
}
}
//如果count值小于顶点数量,表明该有向图有环
if (count<G.vexnum) {
printf("该图有回路");
return;
}
}
int main(){
ALGraph *G;
CreateAOV(&G);//创建AOV网
TopologicalSort(*G);//进行拓扑排序
return 0;
}
例如使用上述完整代码解决下图的有向无环图时,拓扑排序的结果为:
运行效果: