十字链表实现矩阵加法（附带C语言实现代码）

矩阵之间能够进行加法运算的前提条件是：各矩阵的行数和列数必须相等。

在行数和列数都相等的情况下，矩阵相加的结果就是矩阵中对应位置的值相加所组成的矩阵，例如：

十字链表法

之前所介绍的都是采用顺序存储结构存储三元组，在类似于矩阵的加法运算中，矩阵中的数据元素变化较大（这里的变化主要为：非0元素变为0，0变为非0元素），就需要考虑采用另一种结构——链式存储结构来存储三元组。

采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字链表法”。

十字链表法表示矩阵

例如，用十字链表法表示矩阵 A ，为：  

由此可见，采用十字链表表示矩阵时，矩阵的每一行和每一个列都可以看作是一个单独的链表，而之所以能够表示矩阵，是因为行链表和列链表都分别存储在各自的数组中

十字链表中的结点

从图2中的十字链表表示矩阵的例子可以看到，十字链表中的结点由 5 部分组成：

用结构体自定义表示为：

typedef struct OLNode
{
    int i,j,e; //矩阵三元组 i 代表行 j 代表列 e 代表当前位置的数据
    struct OLNode *right,*down; //指针域 右指针 下指针
}OLNode,*OLink;

十字链表的结构

使用十字链表表示一个完整的矩阵，在了解矩阵中各结点的结构外，还需要存储矩阵的行数、列数以及非 0 元素的个数，另外，还需要将各结点链接成的链表存储在数组中。

所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：

typedef struct
{
    OLink *rhead,*chead; //存放各行和列链表头指针的数组
    int mu,nu,tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;

十字链表存储矩阵三元组

由于三元组存储的是该数据元素的行标、列标和数值，所以，通过行标和列标，就能在十字链表中唯一确定一个位置。

判断方法为：在同一行中通过列标来判断位置；在同一列中通过行标来判断位置。

首先判断该数据元素 A（例如三元组为：（i，j，k））所在行的具体位置：

• 如果 A 的列标 j 值比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值小，说明该数据元素在元素 B 的左侧，这时 A 就成为了该行第一个非0元素（也适用于当该行没有非 0 元素的情况，可以一并讨论）
• 如果 A 的列标 j 比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值大，说明 A 在 B 的右侧，这时，就需要遍历该行链表，找到插入位置的前一个结点，进行插入。

对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 A 在对应列的位置：

• 如果 A 的行标比该列第一个非 0 元素 B 的行标 i 值还小，说明 A 在 B 的上边，这时 A 就成了该列第一个非 0 元素。（也适用于该列没有非 0 元素的情况）
• 反之，说明 A 在 B 的下边，这时就需要遍历该列链表，找到要插入位置的上一个数据元素，进行插入。

实现代码：

//创建系数矩阵M,采用十字链表存储表示
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
    int m,n,t;
    int i,j,e;
    OLNode *p,*q;//定义辅助变量
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);  //输入矩阵的行列及非零元的数量
    //初始化矩阵的行列及非零元的数量
    M.mu=m;
    M.nu=n;
    M.tu=t;
    if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))
    {
        printf("初始化矩阵失败");
        exit(0); //初始化矩阵的行列链表
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        M.rhead[i]=NULL; //初始化行
    }
    for(j=1;j<=n;j++)
    {
        M.chead[j]=NULL; //初始化列
    }
    for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) //输入三元组 直到行为0结束
    {
        if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
        {
            printf("初始化三元组失败");
            exit(0); //动态生成p
        }
        p->i=i;
        p->j=j;
        p->e=e; //初始化p
        if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)
        {
            p->right=M.rhead[i];
            M.rhead[i]=p;
        }
        else
        {
            for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right);
            p->right=q->right;
            q->right=p;
        }
       
        if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)
        {
            p->down=M.chead[j];
            M.chead[j]=p;
        }
        else
        {
            for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down);
            p->down=q->down;
            q->down=p;
        }
    }
    return M;
}

十字链表解决矩阵相加问题

在解决 “将矩阵 B 加到矩阵 A ” 的问题时，由于采用的是十字链表法存储矩阵的三元组，所以在相加的过程中，针对矩阵 B 中每一个非 0 元素，需要判断在矩阵 A 中相对应的位置，有三种情况： 

1. 提取到的 B 中的三元组在 A 相应位置上没有非 0 元素，此时直接加到矩阵 A 该行链表的对应位置上；
2. 提取到的 B 中三元组在 A 相应位置上有非 0 元素，且相加不为 0 ，此时只需要更改 A 中对应位置上的三元组的值即可；
3. 提取到的 B 中三元组在 A 响应位置上有非 0 元素，但相加为 0 ，此时需要删除矩阵 A 中对应结点。

设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 A 和矩阵 B 中同一行中的结点（ pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历），针对上面的三种情况，细分为 4 种处理过程（第一种情况下有两种不同情况）：

1. 当 pa 结点的列值 j > pb 结点的列值 j 或者 pa == NULL （说明矩阵 A 该行没有非 0 元素），两种情况下是一个结果，就是将 pb 结点插入到矩阵 A 中。
2. 当 pa 结点的列值 j < pb 结点的列值 j ，说明此时 pb 指向的结点位置比较靠后，此时需要移动 pa 的位置，找到离 pb 位置最近的非 0 元素，然后在新的 pa 结点的位置后边插入；
3. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j， 且两结点的值相加结果不为 0 ，只需要更改 pa 指向的结点的值即可；
4. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j ，但是两结点的值相加结果为 0 ，就需要从矩阵 A 的十字链表中删除 pa 指向的结点。

实现代码：

CrossList AddSMatrix(CrossList M,CrossList N){
    OLNode * pa,*pb;//新增的两个用于遍历两个矩阵的结点
    OLink * hl=(OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink));//用于存储当前遍历的行为止以上的区域每一个列的最后一个非0元素的位置。
    OLNode * pre=NULL;//用于指向pa指针所在位置的此行的前一个结点
    //遍历初期，首先要对hl数组进行初始化，指向每一列的第一个非0元素
    for (int j=1; j<=M.nu; j++) {
        hl[j]=M.chead[j];
    }
    //按照行进行遍历
    for (int i=1; i<=M.mu; i++) {
        //遍历每一行以前，都要pa指向矩阵M当前行的第一个非0元素；指针pb也是如此，只不过遍历对象为矩阵N
        pa=M.rhead[i];
        pb=N.rhead[i];
        //当pb为NULL时，说明矩阵N的当前行的非0元素已经遍历完。
        while (pb!=NULL) {
            //创建一个新的结点，每次都要复制一个pb结点，但是两个指针域除外。（复制的目的就是排除指针域的干扰）
            OLNode * p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
            p->i=pb->i;
            p->j=pb->j;
            p->e=pb->e;
            p->down=NULL;
            p->right=NULL;
           
            //第一种情况
            if (pa==NULL||pa->j>pb->j) {
                //如果pre为NULL，说明矩阵M此行没有非0元素
                if (pre==NULL) {
                    M.rhead[p->i]=p;
                }else{//由于程序开始时pre肯定为NULL，所以，pre指向的是第一个p的位置，在后面的遍历过程中，p指向的位置是逐渐向后移动的，所有，pre肯定会在p的前边
                    pre->right=p;
                }
                p->right=pa;
                pre=p;
                //在链接好行链表之后，链接到对应列的列链表中的相应位置
                if (!M.chead[p->j]||M.chead[p->j]->i>p->i) {
                    p->down=M.chead[p->j];
                    M.chead[p->j]=p;
                }else{
                    p->down=hl[p->j]->down;
                    hl[p->j]->down=p;
                }
                //更新hl中的数据
                hl[p->j]=p;
            }else{
                //第二种情况，只需要移动pa的位置，继续判断pa和pb的位置，一定要有continue
                if (pa->j<pb->j) {
                    pre=pa;
                    pa=pa->right;
                    continue;
                }
                //第三、四种情况，当行标和列标都想等的情况下，需要讨论两者相加的值的问题
                if (pa->j==pb->j) {
                pa->e+=pb->e;
                //如果为0，摘除当前结点，并释放所占的空间
                if (pa->e==0) {
                    if (pre==NULL) {
                        M.rhead[pa->i]=pa->right;
                    }else{
                        pre->right=pa->right;
                    }
                    p=pa;
                    pa=pa->right;
                    if (M.chead[p->j]==p) {
                        M.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
                    }else{
                        hl[p->j]->down=p->down;
                    }
                    free(p);
                    }
                }
            }
            pb=pb->right;
        }
    }
    //用于输出矩阵三元组的功能函数
    display(M);
    return M;
}

完整代码演示

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct OLNode
{
    int i, j, e;  //矩阵三元组i代表行 j代表列 e代表当前位置的数据
    struct OLNode *right, *down; //指针域 右指针 下指针
}OLNode, *OLink;
typedef struct
{
    OLink *rhead, *chead; //行和列链表头指针
    int mu, nu, tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M);
CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N);
void display(CrossList M);
void main()
{
    CrossList M, N;
    M.rhead = NULL;
    M.chead = NULL;
    N.rhead = NULL;
    N.chead = NULL;
    printf("输入测试矩阵M:\n");
    M = CreateMatrix_OL(M);
    printf("输入测试矩阵N:\n");
    N = CreateMatrix_OL(N);
    M = AddSMatrix(M, N);
    printf("矩阵相加的结果为:\n");
    display(M);
}
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
    int m, n, t;
    int i, j, e;
    OLNode *p, *q;
    scanf("%d%d%d", &m, &n, &t);
    M.mu = m;
    M.nu = n;
    M.tu = t;
    if (!(M.rhead = (OLink*)malloc((m + 1) * sizeof(OLink))) || !(M.chead = (OLink*)malloc((n + 1) * sizeof(OLink))))
    {
        printf("初始化矩阵失败");
        exit(0);
    }
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        M.rhead[i] = NULL;
    }
    for (j = 1; j <= n; j++)
    {
        M.chead[j] = NULL;
    }
    for (scanf("%d%d%d", &i, &j, &e); 0 != i; scanf("%d%d%d", &i, &j, &e)) {
        if (!(p = (OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
        {
            printf("初始化三元组失败");
            exit(0);
        }
        p->i = i;
        p->j = j;
        p->e = e;
        if (NULL == M.rhead[i] || M.rhead[i]->j > j)
        {
            p->right = M.rhead[i];
            M.rhead[i] = p;
        }
        else
        {
            for (q = M.rhead[i]; (q->right) && q->right->j < j; q = q->right);
            p->right = q->right;
            q->right = p;
        }
        if (NULL == M.chead[j] || M.chead[j]->i > i)
        {
            p->down = M.chead[j];
            M.chead[j] = p;
        }
        else
        {
            for (q = M.chead[j]; (q->down) && q->down->i < i; q = q->down);
            p->down = q->down;
            q->down = p;
        }
    }
    return M;
}
CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N) {
    OLNode * pa, *pb;
    OLink * hl = (OLink*)malloc(M.nu * sizeof(OLink));
    OLNode * pre = NULL;
    for (int j = 1; j <= M.nu; j++) {
        hl[j] = M.chead[j];
    }
    for (int i = 1; i <= M.mu; i++) {
        pa = M.rhead[i];
        pb = N.rhead[i];
        while (pb != NULL) {
            OLNode * p = (OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
            p->i = pb->i;
            p->j = pb->j;
            p->e = pb->e;
            p->down = NULL;
            p->right = NULL;
            if (pa == NULL || pa->j > pb->j) {
                if (pre == NULL) {
                    M.rhead[p->i] = p;
                }
                else {
                    pre->right = p;
                }
                p->right = pa;
                pre = p;
                if (!M.chead[p->j] || M.chead[p->j]->i > p->i) {
                    p->down = M.chead[p->j];
                    M.chead[p->j] = p;
                }
                else {
                    p->down = hl[p->j]->down;
                    hl[p->j]->down = p;
                }
                hl[p->j] = p;
            }
            else {
                if (pa->j < pb->j) {
                    pre = pa;
                    pa = pa->right;
                    continue;
                }
                if (pa->j == pb->j) {
                    pa->e += pb->e;
                    if (pa->e == 0) {
                        if (pre == NULL) {
                            M.rhead[pa->i] = pa->right;
                        }
                        else {
                            pre->right = pa->right;
                        }
                        p = pa;
                        pa = pa->right;
                        if (M.chead[p->j] == p) {
                            M.chead[p->j] = hl[p->j] = p->down;
                        }
                        else {
                            hl[p->j]->down = p->down;
                        }
                        free(p);
                    }
                }
            }
            pb = pb->right;
        }
    }
    display(M);
    return M;
}
void display(CrossList M) {
    printf("输出测试矩阵:\n");
    printf("M:\n---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n");
    for (int i = 1; i <= M.nu; i++)
    {
        if (NULL != M.chead[i])
        {
            OLink p = M.chead[i];
            while (NULL != p)
            {
                printf("%d\t%d\t%d\n", p->i, p->j, p->e);
                p = p->down;
            }
        }
    }
}

运行结果：

总结

使用十字链表法解决稀疏矩阵的压缩存储的同时，在解决矩阵相加的问题中，对于某个单独的结点来说，算法的时间复杂度为一个常数（全部为选择结构），算法的整体的时间复杂度取决于两矩阵中非0元素的个数。