行逻辑链接的顺序表实现矩阵乘法（附带C语言完整代码）

矩阵相乘的前提条件是：乘号前的矩阵的列数要和乘号后的矩阵的行数相等。且矩阵的乘法运算没有交换律，即 A*B 和 B*A 是不一样的。

例如，矩阵 A：

矩阵 B：

由于矩阵 A 的列数和矩阵 B 的行数相等，可以进行 A*B 运算（不能进行 B*A 运算）。计算方法是：用矩阵A的第 i 行和矩阵B中的每一列 j 对应的数值做乘法运算，乘积一一相加，所得结果即为矩阵 C 中第 i 行第 j 列的值。

得到的乘积矩阵 C 为：

 

例如，A是 m1*n1 矩阵，B是 m2*n2 矩阵(前提必须是 n1 == m2 )：

int C[MAX][MAX];
for (int i=0; i<m1;i++) {
    for (int j=0; j<n2; j++) {
        C[i][j]=0;
        for (int k=0; k<n1; k++) {
            C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
        }
    }
}

普通算法的时间复杂度为O(m1*n2*n1)。

在稀疏矩阵做乘法运算时，由于本身矩阵中含有的非 0 元素少，普通算法会出现很多 0*0 或者 k*0 或者 0*k （ k 代表非 0 元素值）的情况。下面介绍使用行逻辑链接的顺序表计算矩阵乘积的方法。

行逻辑链接的顺序表解决矩阵乘积算法

对矩阵的乘积进行深度剖析，矩阵 A 和矩阵 B 相乘的运算过程是这样的： 

1. 首先，找到矩阵 A 中第一行的非 0 元素，分别是 A₁₁ = 3和 A₁₄ = 5；（由于行逻辑链接的顺序表中存储的都是非 0 元素，查找的过程就需要使用记录每行第一个非 0 元素的首地址的数组来完成）
2. 用 3 去和 B 中对应的第一行中的非 0 元素相乘，矩阵 B 中第一行非 0 元素是 B₁₂ = 2，所以 3*2 = 6 ，因为 6 是 A₁₁ 和 B₁₂ 相乘的结果，所以暂时存放在 C₁₂ 中；用 5 去和 B 中对应的第 4 行的非 0 元素相乘，由于矩阵 B 中第 4 行没有非 0 元素，所以，第一行的计算结束；
3. 以此类推。

攻克问题难点

现在，解决问题的关键在于，如何知道顺序表中存放的非0元素是哪一行的呢？

解决方案：由于使用的是行逻辑链接的顺序表，所以，已经知道了每一个矩阵中的每一行有多少个非0元素，而且第一行的第一个非0元素的位置一定是1。

所以，第 n 行的非0元素的位置范围是：大于或等于第 n 行第一个元素的位置， 小于第 n+1 行第一个元素的位置（如果是矩阵的最后一行， 小于矩阵中非 0 元素的个数 + 1）。

具体实现代码

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 1200
#define MAXRC 100
#define ElemType int
typedef struct
{
    int i, j;//行，列
    ElemType e;//元素值
}Triple;
typedef struct
{
    Triple  data[MAXSIZE + 1];
    int rpos[MAXRC + 1];//每行第一个非零元素在data数组中的位置
    int mu, nu, tu;//行数，列数，元素个数
}RLSMatrix;
RLSMatrix MultSMatrix(RLSMatrix A, RLSMatrix B, RLSMatrix C)
{
    //如果矩阵A的列数与矩阵B的行数不等，则不能做矩阵乘运算
    if (A.nu != B.mu)
        return C;
    C.mu = A.mu;
    C.nu = B.nu;
    C.tu = 0;
    //如果其中任意矩阵的元素个数为零，做乘法元素没有意义，全是0
    if (A.tu * B.tu == 0)
        return C;
    else
    {
        int arow;
        int ccol;
        //遍历矩阵A的每一行
        for (arow = 1; arow <= A.mu; arow++)
        {
            //创建一个临时存储乘积结果的数组，且初始化为0，遍历每次都需要清空
            int ctemp[MAXRC + 1];
            for (int i = 0; i < MAXRC + 1; i++) {
                ctemp[i] = 0;
            }
            C.rpos[arow] = C.tu + 1;
            //根据行数，在三元组表中找到该行所有的非0元素的位置
            int tp;
            if (arow < A.mu)
                tp = A.rpos[arow + 1];//获取矩阵A的下一行第一个非零元素在data数组中位置
            else
                tp = A.tu + 1;//若当前行是最后一行，则取最后一个元素+1
            int p;
            int brow;
            //遍历当前行的所有的非0元素
            for (p = A.rpos[arow]; p < tp; p++)
            {
                brow = A.data[p].j;//取该非0元素的列数，便于去B中找对应的做乘积的非0元素
                int t;
                // 判断如果对于A中非0元素，找到矩阵B中做乘法的那一行中的所有的非0元素
                if (brow < B.mu)
                    t = B.rpos[brow + 1];
                else
                    t = B.tu + 1;
                int q;
                //遍历找到的对应的非0元素，开始做乘积运算
                for (q = B.rpos[brow]; q < t; q++)
                {
                    //得到的乘积结果，每次和ctemp数组中相应位置的数值做加和运算
                    ccol = B.data[q].j;
                    ctemp[ccol] += A.data[p].e * B.data[q].e;
                }
            }
            //矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数，所以，得到的ctemp存储的结果，也会在C的列数的范围内
            for (ccol = 1; ccol <= C.nu; ccol++)
            {
                //由于结果可以是0，而0不需要存储，所以在这里需要判断
                if (ctemp[ccol])
                {
                    //不为0，则记录矩阵中非0元素的个数的变量tu要+1；且该值不能超过存放三元素数组的空间大小
                    if (++C.tu > MAXSIZE)
                        return C;
                    else {
                        C.data[C.tu].e = ctemp[ccol];
                        C.data[C.tu].i = arow;
                        C.data[C.tu].j = ccol;
                    }
                }
            }
        }
        return C;
    }
}
int main(int argc, char* argv[])
{
    RLSMatrix M, N, T;
    M.tu = 4;
    M.mu = 3;
    M.nu = 4;
    M.rpos[1] = 1;
    M.rpos[2] = 3;
    M.rpos[3] = 4;
    M.data[1].e = 3;
    M.data[1].i = 1;
    M.data[1].j = 1;
    M.data[2].e = 5;
    M.data[2].i = 1;
    M.data[2].j = 4;
    M.data[3].e = -1;
    M.data[3].i = 2;
    M.data[3].j = 2;
    M.data[4].e = 2;
    M.data[4].i = 3;
    M.data[4].j = 1;
    N.tu = 4;
    N.mu = 4;
    N.nu = 2;
    N.rpos[1] = 1;
    N.rpos[2] = 2;
    N.rpos[3] = 3;
    N.rpos[4] = 5;
    N.data[1].e = 2;
    N.data[1].i = 1;
    N.data[1].j = 2;
    N.data[2].e = 1;
    N.data[2].i = 2;
    N.data[2].j = 1;
    N.data[3].e = -2;
    N.data[3].i = 3;
    N.data[3].j = 1;
    N.data[4].e = 4;
    N.data[4].i = 3;
    N.data[4].j = 2;
    T = MultSMatrix(M, N, T);
    for (int i = 1; i <= T.tu; i++) {
        printf("(%d,%d,%d)\n", T.data[i].i, T.data[i].j, T.data[i].e);
    }
    return 0;
}

输出结果：

总结

当稀疏矩阵 A_mn 和稀疏矩阵 B_np 采用行逻辑链接的顺序表做乘法运算时，在矩阵 A 的列数（矩阵 B 的行数） n 不是很大的情况下，算法的时间复杂度相当于O(m*p)，比普通算法要快很多。