稀疏矩阵的快速转置算法（C语言）详解

《稀疏矩阵的转置算法》一节介绍了实现矩阵转置的普通算法，该算法的时间复杂度为 O(n²)。本节给大家介绍一种实现矩阵转置更高效的算法，通常称为稀疏矩阵的快速转置算法。

我们知道，稀疏矩阵的转置需要经历以下 3 步：

1. 将矩阵的行数和列数互换；
2. 将三元组表（存储矩阵）中的 i 列和 j 列互换，实现矩阵的转置；
3. 以 j 列为序，重新排列三元组表中存储各三元组的先后顺序；

稀疏矩阵快速转置算法和普通算法的区别仅在于第 3 步，快速转置能够做到遍历一次三元组表即可完成第 3 步的工作。

图 1 稀疏矩阵和对应的三元组表

如图 1 所示，此为转置之前的矩阵和对应的三元组表。稀疏矩阵的快速转置是这样的，在普通算法的基础上增设两个数组（假设分别为 array 和 copt）：

• array 数组负责记录原矩阵每一列非 0 元素的个数。以图 1 为例，则对应的array数组如图 2 所示：
  
  图 2 每一列非 0 元素的个数
  图 2 中 array 数组表示，原稀疏矩阵中第一列有 1 个非 0 元素，第二列有 2 个非 0 元素。
• copt 数组用于计算稀疏矩阵中每列第一个非 0 元素在新三元组表中存放的位置。我们通常默认第一列首个非 0 元素存放到新三元组表中的位置为 1，然后通过 cpot[col] = cpot[col-1] + array[col-1] 公式可计算出后续各列首个非 0 元素存放到新三元组表的位置。拿图 1 中的稀疏矩阵来说，它对应的 copt 数组如图 3 所示：
  
  图 3 copt 数组示意图
  图 3 中的 copt 数组表示，原稀疏矩阵中第 2 列首个非 0 元素存放到新三元组表的位置为 2。

这样在实现第 3 步时，根据每个三元组中 j 的数值，可以借助 cpot 数组直接得到此三元组新的存放位置，C 语言实现代码如下：

//实现快速转置算法的函数
TSMatrix fastTransposeMatrix(TSMatrix M,TSMatrix T){
    //第1步：行和列置换
    T.m=M.n;
    T.n=M.m;
    T.num=M.num;
    if (T.num) {
        //计算array数组
        int array[number];
        for (int col=1; col<=M.m; col++) {
            array[col]=0;
        }
        for (int t=0; t<M.num; t++) {
            int j=M.data[t].j;
            array[j]++;
        }
        //创建并初始化cpot数组
        int cpot[T.m+1];
        cpot[1]=1;//第一列中第一个非0元素的位置默认为1
        for (int col=2; col<=M.m; col++) {
            cpot[col]=cpot[col-1]+array[col-1];
        }
        //遍历一次即可实现三元组表的转置
        for (int p=0; p<M.num; p++) {
            //提取当前三元组的列数
            int col=M.data[p].j;
            //根据列数和cpot数组，找到当前元素需要存放的位置
            int q=cpot[col];
            //转置矩阵的三元组默认从数组下标0开始，而得到的q值是单纯的位置，所以要减1
            T.data[q-1].i=M.data[p].j;
            T.data[q-1].j=M.data[p].i;
            T.data[q-1].data=M.data[p].data;
            //存放完成后，cpot数组对应的位置要+1，以便下次该列存储下一个三元组
            cpot[col]++;
        }
    }
    return T;
}

使用 fastTransposeMatrix 函数实现图 1 中稀疏矩阵转置的 C 语言完整程序为：

#include<stdio.h>
#define number 10
typedef struct {
    int i,j;
    int data;
}triple;
typedef struct {
    triple data[number];
    int rpos[number];
    int n,m,num;
}TSMatrix;
//fastTransposeMatrix放置位置
int main() {
    TSMatrix M;
    M.m=2;
    M.n=3;
    M.num=3;
  
    M.data[0].i=1;
    M.data[0].j=2;
    M.data[0].data=1;
  
    M.data[1].i=2;
    M.data[1].j=2;
    M.data[1].data=3;
  
    M.data[2].i=3;
    M.data[2].j=1;
    M.data[2].data=6;
  
    TSMatrix T;
    T=fastTransposeMatrix(M, T);
    printf("转置矩阵三元组表为：\n");
    for (int i=0; i<T.num; i++) {
        printf("(%d,%d,%d)\n",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].data);
    }
    return 0;
}

程序运行结果为：

可以看出，稀疏矩阵快速转置算法的时间复杂度为 O(n)。即使在最坏的情况下（矩阵中全部都是非 0 元素），该算法的时间复杂度也才为 O(n²)。