如何用栈结构求表达式的值？

通过前面章节的学习，读者已经了解了什么是栈以及栈存储结构的 2 种实现方式（顺序栈和链栈）。在此基础上，本节教读者用栈解决一个实际问题：如何用栈结构求一个表达式的值？

所谓表达式，就是由变量、常量以及运算符组合而成的式子。其中，常用的运算符无非 !（阶乘运算符）、^（指数运算符）、+、-、*、/ 、( ) 这几种，比如3!+4*2/(1-5)^2就是一个表达式。

那么，如何用栈结构求一个表达式的值呢？实际上，已经有前辈设计好了一种完美的解决方案。

1929 年，波兰逻辑学家 J・卢卡西维兹提出了一种全新的表示表达式的方法，称为后缀表达式或者逆波兰表达式。和普通表达式不同，后缀表达式习惯将运算符写在它的运算项之后，且整个表达式中不用括号 () 表明运算的优先级关系。

以 3! 为例，! 为 运算符，3 为运算项，因此 3! 本身就是一个后缀表达式；再以 4*2 为例，* 为运算符，4 和 2 作为它的运算项，其对应的后缀表达式为 4 2+。

在此基础上，我们试着将 3!+4*2/(1-5)^2 转换成后缀表达式，其过程也就是将表达式中所有运算符放置在它的运算项之后：

• ! 运算符对应的运算项为 3，转换后得到3 !；
• + 运算符对应的运算项是 3! 和 4*2/(1-5)^2，转换之后得到：3! 4*2/(1-5)^2 +；
• * 运算符对应的运算项是 4 和 2，转换之后得到4 2 *；
• / 运算符对应的运算项是 4 2 * 和 (1-5)^2，转换后得到4 2 * (1-5)^2 /；
• - 运算符对应的运算项是 1 和 5，转换后得到1 5 -；
• ^ 运算符对应的运算项是 1 5 - 和 2 ，转换后得到1 5 - 2 ^。

整合之后，整个普通表达式就转换成了3 ! 4 2 * 1 5 - 2 ^ / +，这就是其对应的后缀表达式。

不难发现，后缀表达式完全舍弃了表达式本该有的可读性，但有失必有得，相比普通表达式，后缀表达式的值可以轻松借助栈存储结构求得。具体求值的过程是：当用户给定一个后缀表达式时，按照从左到右的顺序依次扫描表达式中的各个运算项和运算符，对它们进行如下处理：

1. 遇到运算项时，直接入栈；
2. 遇到运算符时，将位于栈顶的运算项出栈，对于 ! 运算符，取栈顶 1 个运算项；其它运算符，取栈顶 2 个运算项，第一个取出的运算项作为该运算符的右运算项，另一个作为左运算项。求此表达式的值并将其入栈。

经过以上操作，直到栈中仅存在一个运算项为止，此运算项即为整个表达式的值。

以3 ! 4 2 * 1 5 - 2 ^ / +表达式为例，求值的过程为：

1) 从 3 开始，它是运算项，因此直接入栈： 

2) ! 作为运算符，从栈顶取 1 个运算项（也就是 3），求 3! 的值（3! = 3*2*1=6）并将其入栈：

3) 将 4 和 2 先后入栈：

4) 对于 * 运算符，取栈顶 2 个运算项（ 2 和 4），其中先取出的 2 作为 * 的右操作数，4 作为左操作数。求的 4* 2 的值 8 ，并将其入栈：

5) 将 1 和 5 先后入栈：

6) 对于 - 运算符，取栈顶 2 个运算项（5 和 1），计算出 1-5 的值为 -4，将其入栈：

7) 将 2 入栈：

8) 对于 ^ 运算符，取栈顶 2 个运算项（2 和 -4），计算出 -4^2 的值 16 ，将其入栈：

9) 对于 / 运算符，取栈顶 2 个运算项（16 和 8），计算出 8/16 的值 0.5，将其入栈：

10) 对于 + 运算符，取栈顶 2 个运算符（0.5 和 6），计算出 6+0.5 的值 6.5，将其入栈：

由此，整个求值的过程就结束了，最终表达式的值为 6.5。如下给出了实现此过程的参考代码：

//根据给定的后缀表达式 postexp，计算它的值
typedef struct
{
    double data[MAXSIZE];
    int top;
}Stack_num;
void InitStack_num(Stack_num **s)
{
    *s = (Stack_num *)malloc(sizeof(Stack_num));
    (*s)->top = -1;
}
bool Push_num(Stack_num **s, double e)
{
    if ((*s)->top == MAXSIZE - 1)
        return false;
    (*s)->top++;
    (*s)->data[(*s)->top] = e;
    return true;
}
bool Pop_num(Stack_num **s, double *e)
{
    if ((*s)->top == -1)
        return false;
    *e = (*s)->data[(*s)->top];
    (*s)->top--;
    return true;
}
//计算后缀表达式的值
double compvalue(char *postexp)
{
    Stack_num *num;
    int i = 1;
    double result;
    double a, b;
    double c;
    double d;
    InitStack_num(&num);
    //依次扫描整个表达式
    while (*postexp != '\0')
    {
        switch (*postexp)
        {
            case '+':
                Pop_num(&num, &a);
                Pop_num(&num, &b);
                //计算 b+a 的值
                c = b + a;
                Push_num(&num, c);
                break;
            case '-':
                //计算 b-a 的值
                Pop_num(&num, &a);
                Pop_num(&num, &b);
                c = b - a;
                Push_num(&num, c);
                break;
            case '*':
                Pop_num(&num, &a);
                Pop_num(&num, &b);
                //计算 b*a 的值
                c = b * a;
                Push_num(&num, c);
                break;
            case '/':
                Pop_num(&num, &a); // a是除数
                Pop_num(&num, &b);
                //计算 b/a 的值
                if (a != 0)
                {
                    c = b / a;
                    Push_num(&num, c);
                }
                else
                {
                    printf("除0错误！\n");
                    exit(0);
                }
                break;
            case '^':
                Pop_num(&num, &a); // a是指数
                Pop_num(&num, &b);
                //计算 b^a 的值
                if (a != 0)
                {
                    i = 1;
                    c = 1;
                    while(i <= a) {
                        c = c * b;
                        i++;
                    }
                }
                else if(b != 0)
                {
                    c = 1;
                }
                else {
                    c = 0;
                }
                Push_num(&num, c);
                break;
            case '!':
                Pop_num(&num, &a);
                //计算 a! 的值
                c = 1;
                i = a;
                while (i != 0) {
                    c = c * i;
                    i--;
                }
                Push_num(&num, c);
                break;
            default:
                //如果不是运算符，就只能是字符形式的数字，将其转换成对应的整数
                d = 0;
                while (*postexp >= '0' && *postexp <= '9')
                {
                    d = 10 * d + (*postexp - '0');
                    postexp++;
                }
                Push_num(&num, d);
        }
        postexp++; //继续下一个字符
    }
    Pop_num(&num, &result);
    return result;
}

根据上面的讲解，我们学会了如何求后缀表达式的值。但对于普通用户来讲，另其输入一个正确的后缀表达式显然是不实现的，我们只能要求他们输入一个正确的普通表达式。这就引出了一个问题，即如何将一个普通表达式转换成后缀表达式？

后缀表达式的转换

幸运的是，针对这个问题，伟人迪杰斯特拉给出了一个完美的解决方案，称为调用场算法，该算法可以实现将一个普通表达式转换成后缀表达式。

调用场算法的实现，需要借助一个空栈（假设栈名为 Optr）和一个空数组（假设数组名为 postexp）。对于给定的一个普通表达式，调用场算法的转换过程是：逐个遍历表达式中的每个字符：

1. 如果为 '0'~'9' 的字符，将其添加到 postexp 数组的末尾；
2. 如果该字符为除 ‘(’ 和 ')' 以外的运算符，将其与 Optr 栈顶的运算符进行大小比较，如果该运算符大于栈顶运算符，则将其入栈；反之，如果该运算符小于栈顶运算符，则将栈顶运算符出栈并添加到 postexp 数组的尾部，然后继续拿当前运算符同新的栈顶运算符做大小比较，以此类推。
3. 如果该字符为 '(' 运算符，直接入栈；如果为 ')' 运算符，依次取 Optr 栈顶运算符并将其添加到 postexp 数组末尾，直到遇到 '(' 字符为止（注意，'(' 字符也从栈顶取出，但不将其添加 postexp 数组中）。

依照以上处理过程，直到将普通表达式遍历完毕，如果 Optr 栈中仍有运算符，依次将它们出栈并添加到 postexp 数组尾部。最终，postexp 数组内存储的表达式就是转换后的后缀表达式。

值得一提的是，第 2 步中关于运算符的大小比较，迪杰斯塔拉给出了如下所示的表格： 

如表 1 所示，假设栈顶运算符为 *，当前遍历到的运算符为 +，则根据表 1 中第 3 行第 1 列可知，* > +（注意不是 + > * ），即当前运算符小于栈顶运算符。根据调用场算法的处理规则，需将 * 出栈并添加到 postexp 数组的尾部，继续用 + 运算符同新的栈顶运算符做比较，以此类推。

以3!+4*2/(1-5)^2为例，接下来为大家演示调用场算法的整个转换过程。遍历整个表达式：

1) 对于字符 3，直接将其添加 postexp 数组的尾部：

2) 遍历至 !，将其与 Optr 栈顶字符进行比较，由于此时 Optr 为空栈，因此直接将 ! 入栈：

3) 遍历至 +，Optr 栈顶运算符! > +，将 ! 从 Optr 栈中取出并添加到 postexp 数组末尾。此时，Optr 栈为空，将 + 入栈：

4) 遍历至 4，直接添加到 postexp 数组末尾：

5) 遍历至 *，Optr 栈顶运算符+ < *，所以将 * 入栈：

6) 遍历至 2，将其添加至 postexp 数组的末尾：

7) 遍历至 /，Optr 栈顶运算符* > /，将 * 取出并添加到 postexp 数组末尾：

 

继续用 / 同 Optr 栈顶的 + 运算符比较，+ < /，将 / 入栈：

 

8) 遍历至 (，直接入栈：

 

9) 遍历至 1 ，将其添加到 postexp 数组末尾：

 

10) 遍历至 -，Optr 栈顶运算符( < -，将 - 入栈：

 

11) 遍历至 5，添加到 postexp 数组末尾：

 

12) 遍历至 )，对 Optr 栈一直做出栈操作并将出栈元素添加到 postexp 数组末尾，直到将 ( 取出：

 

13) 遍历至 ^，Optr 栈顶运算符/ < ^，将 ^ 入栈：

 

14) 遍历至 2，将其添加到 postexp 数组末尾：

 

15) 将 Optr 栈做出栈操作，并逐个将出栈元素添加到 postexp 数组末尾，直至 Optr 栈为空：

 

显然，postexp 数组中存储的就是3!+4*2/(1-5)^2对应的后缀表达式。

如下为调度场算法的实现代码：

// 字符栈
typedef struct
{
    char data[MAXSIZE];
    int top;
}Stack;
void InitStack(Stack **s)
{
    *s = (Stack*)malloc(sizeof(Stack));
    (*s)->top = -1;
}
bool Push(Stack *s, char e)
{
    if (s->top == MAXSIZE - 1)
        return false;
    s->top++;
    s->data[s->top] = e;
    return true;
}
bool Pop(Stack **s, char *e)
{
    if ((*s)->top == -1)
        return false;
    *e = (*s)->data[(*s)->top];
    (*s)->top--;
    return true;
}
bool GetTop(Stack **s, char *e)
{
    if ((*s)->top == -1)
        return false;
    *e = (*s)->data[(*s)->top];
    return true;
}
bool StackEmpty(Stack **s)
{
    if ((*s)->top == -1)
        return true;
    return false;
}
// 将中缀表达式转换成后缀表达式
void trans(char *exp, char postexp[])
{
    int i = 0;
    char e;
    Stack *Optr;
    InitStack(&Optr); //初始化操作符栈，为存储后缀表达式做准备
    while (*exp != '\0') // 对每个字符进行判断处理
    {
        switch (*exp)
        {
            //单独处理括号
            //如果是左括号，直接入栈
            case '(':
                Push(Optr, '(');
                exp++;
                break;
            //如果为右括号，一直出栈操作，直到将 ( 也出栈
            case ')':
                Pop(&Optr, &e);
                while (e != '(')
                {
                    postexp[i++] = e;
                    Pop(&Optr, &e);
                }
                exp++;
                break;
            // + - 优先级相同，当做同一种情况处理
            case '+':
            case '-':
                //由于 + - 的优先级只比 ( 大，所有只要栈顶字符不为 ( 就一直出栈；反之，则将 + - 入栈。
                while (!StackEmpty(&Optr))
                {
                    GetTop(&Optr, &e);
                    if (e == '(')
                        break;
                    else
                    {
                        postexp[i++] = e;
                        Pop(&Optr, &e);
                    }
                }
                //最后将 + - 入栈
                Push(Optr, *exp);
                exp++;
                break;
            case '*':
            case '/':
                // * / 优先级比 * / ^ ! 小，所有如果栈顶运算符是它们，就出栈；反之就将 * / 入栈
                while (!StackEmpty(&Optr))
                {
                    GetTop(&Optr, &e);
                    if (e == '/' || e == '*' ||e=='^' || e=='!') // * / 的优先级仅仅低于它前面的 * /，高于前面的 + -，所以要将前面的 * / 弹出栈；+ - 保留，因为新的 * / 会放在栈低，优先级高。
                    {
                        postexp[i++] = e;
                        Pop(&Optr, &e);
                    }
                    else
                        break; // 其他情况（ + - 左括号 ）退出，
                }
                //最后将 / * 入栈
                Push(Optr, *exp);
                exp++;
                break;
            case '^':
                // ^ 优先级仅比 ^ ! 小，如果栈顶运算符是它们，则出栈；反之将 ^ 入栈
                while (!StackEmpty(&Optr))
                {
                    GetTop(&Optr, &e);
                    if (e == '^' || e == '!')
                    {
                        postexp[i++] = e;
                        Pop(&Optr, &e);
                    }
                    else
                        break; // 其他情况（ + - * / ( ）退出，
                }
                Push(Optr, *exp); //最后将 ^ 入栈
                exp++;
                break;
            case '!':
                // ! 优先级仅比 ! 小，所有如果栈顶运算符为 !,则将其出栈；反之，将 ! 入栈
                while (!StackEmpty(&Optr))
                {
                    GetTop(&Optr, &e);
                    if (e == '!')
                    {
                        postexp[i++] = e;
                        Pop(&Optr, &e);
                    }
                    else
                        break; // 其他情况（ + - * / ^ ( ）退出，
                }
                //最后将 ! 入栈
                Push(Optr, *exp);
                exp++;
                break;
            default:
                while (*exp > '0' && *exp < '9') //循环判断是否为数字字符，如果是则保存到postexp，循环判断是因为可能是多位数字
                {
                    postexp[i++] = *exp;
                    exp++;
                }
                //以#分隔各个数字字符
                postexp[i++] = '#';
        }
    }
    while (!StackEmpty(&Optr)) //扫描完exp后，操作符栈可能还有操作符，将其存到postexp
    {
        Pop(&Optr, &e);
        postexp[i++] = e;
    }
    postexp[i] = '\0'; //结束字符串
    free(Optr); //销毁栈
}

由此，用栈结构求表达式的值的完整解决方案为：

1. 将用户输入的普通表达式，借助调用场算法转换为后缀表达式；
2. 由第一步得到的后缀表达式，计算出它的值。

为了方便读者理解整个用栈求表达式的值的过程，本文给大家提供了可直接编译运行的源码（点击栈求表达式的值即可下载）。