进制之间的转换

对于基础薄弱的读者，本节的内容可能略显晦涩和枯燥，如果觉得吃力，可以暂时跳过，用到的时候再来阅读。但是本节所讲的内容是学习编程的基础，是程序员的基本功，即使现在不学，迟早也要回来学。

前面两节对二进制、八进制和十六进制进行了说明，接下来讲一下不同进制之间的数字是如何转换的，这在编程中经常会用到，尤其是C语言。

其他进制向十进制转换

二进制、八进制和十六进制向十进制转换都是非常容易的，就是“按权相加”。

所谓“权”，也即“位权”。例如，十进制第1位的位权为10⁰=1，第2位的位权为10¹=10，第3位的位权为10²=100；而二进制第1位的位权为2⁰=1，第2位的位权为2¹=2，第3位的位权为2²=4。设数字所采用的进制为N（基数也是N），那么第 i 位的位权为 N^(i-1)。

不同进制转换为十进制举例：

• 二进制：1001 = 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9
• 二进制：101.1001 = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2^-1 + 0×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625
• 八进制：0302 = 3×8² + 0×8¹ + 2×8⁰ = 192 + 0 + 2 = 194
• 八进制：0302.46 = 3×8² + 0×8¹ + 2×8⁰ + 4×8^-1 + 6×8^-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375
• 十六进制：0Xea7 = 14×16² + 10×16¹ + 7×16⁰ = 3751

十进制转换为二进制——辗除法

上节的表格中给出了简单的十进制和二进制的转换关系，要想获得更多的转换关系，可以使用辗除法。辗除法也就是“除模取余”法。除模取余就是将一个几进制的数转化成另一个进制时， 另一个进制的基数就是模，用将要转化的进制数除以模，取它的余数。

下图以十进制的“19”转换为二进制为例进行讲解：

图1：19 转换为二进制

如图所示，以2为除数，一直相除下去，直到商为0，余数则为求得的二进制数。

注意：余数要倒序排列，也就是说，最先求得的余数排在二进制的最后面，最后求得的余数排在二进制的最前面。上面的例子中，最后求得的二进制数为 10011。

虽然其他进制也可以按照辗除法来转换，但是比较麻烦，下面介绍更简单的方法。

二进制和八进制的转换

二进制向八进制的转换是每三位二进制数转换为一位八进制数，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补充。以二进制“1011101”为例，如下图所示：

图2：二进制转八进制

转换的结果为：1011101 = 0135

八进制向二进制转换的思路是八进制的一位转换为二进制的三位，运算的顺序是从低位向高位依次进行。同样以八进制“0135”为例，如下图所示：

图3：八进制转二进制

转换的结果为：0135 = 1011101

二进制和十六进制的转换

二进制向十六进制转换时，四位转换成十六进制的一位，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补。以“1110011”转换成十六进制为例，如下图所示：

图4：二进制转十六进制

转换的结果为：1001011101 = 0X25D

十六进制向二进制转换，就是把十六进制的一位转换成二进制的四位，注意运算的顺序是从低位向高位依次进行。同样以十六进制“0X25D”为例，如下图所示：

图5：十六进制转二进制