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C语言牛顿迭代法求方程根

时间:12-29来源:作者:点击数:

问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。方程为,系数a、b、c、d由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后,由主函数输出。

牛顿迭代法的公式是:,设迭代到  时结束。

问题分析

牛顿迭代法是取 x0 之后,在这个基础上,找到比 x0 更接近的方程的根,一步一步迭代,从而找到更接近方程根的近似根。

设 r 是f(x) = 0的根,选取 x0 作为 r 初始近似值。过点(x0,f(x0))作为曲线的切线L,L的方程为 ,求出L与x轴交点的横坐标 ,称 x1 为 r 的一次近似值,过点(x1,f(x1))作为曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标 ,称 x2 为 r 的二次近似值,重复以上过程,得 r 的近似值 xn

算法设计

  • (1) 在1附近找任一实数作为 x0 的初值,如取 1.5,即 x0=1.5。
  • (2) 用初值 x代入方程中计算此时的 f(x0) 及 f’(x0);程序中用变量 f 描述方程的值,用 fd 描述方程求导之后的值。
  • (3) 计算增量 h=f/fd。
  • (4) 计算下一个x:x=x0-h。
  • (5) 用新产生的 x 替换原来的 x0,为下一次迭代做好准备。
  • (6) 若 |x-x0|>=1e-5,则转到第(3)步继续执行,否则转到步骤(7)。
  • (7) 所求 x 是方程 的根,并将其输出。

下面是完整的代码:

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    /*函数功能是用牛顿迭代法求方程的根*/
    float solution( float a, float b, float c, float d);
    float a, b, c, d, x;  /*a,b,c,d代表所求方程的系数,x用来记录求得的方程根*/
    printf("请输入方程的系数:");
    scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);
    x = solution(a, b, c, d);
    printf("所求方程的根为x=%f", x);
    return 0;
}
float solution(float a, float b, float c, float d)
{
    float x0, x=1.5, f, fd, h;  /*f用来描述方程的值,fd用来描述方程求导之后的值*/
    do
    {
        x0 = x;  /*用所求得的x的值代替x0原来的值*/
        f = a*x0*x0*x0 + b*x0*x0 + c*x0 + d;
        fd = 3*a*x0*x0 + 2*b*x0 + c;
        h = f / fd;
        x = x0 - h;  /*求得更接近方程根的x的值*/
    }
    while(fabs(x-x0) >= 1e-5);
    return x;
}

运行结果:

请输入方程的系数:2 -3 4 -2

所求方程的根为x=0.694146

知识点补充

本程序的编写既可用while(表达式){循环体}也可用do{循环体}while(表达式),二者得到的结果是一样的,只是在赋初值时稍有不同。while(表达式){循环体}结构需要先判定条件,即先判断 |x-x0|>=1e-5 是否成立,这样对于 x, x0 我们要在 1 附近取两个不同的数值作为初值;do{循环体}while(表达式)结构是先执行一次循环体,得到 x 的新值后再进行判定,这样程序开始只需给 x 赋初值。这里用do{循环体}while(表达式)结构来实现。

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