问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。方程为，系数a、b、c、d由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。

牛顿迭代法的公式是：，设迭代到  时结束。

问题分析

牛顿迭代法是取 x₀ 之后，在这个基础上，找到比 x₀ 更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。

设 r 是f(x) = 0的根，选取 x₀ 作为 r 初始近似值。过点(x₀，f(x₀))作为曲线的切线L，L的方程为 ，求出L与x轴交点的横坐标 ，称 x₁ 为 r 的一次近似值，过点(x₁,f(x1))作为曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 ，称 x₂ 为 r 的二次近似值，重复以上过程，得 r 的近似值 x_n。

算法设计

• (1) 在1附近找任一实数作为 x₀ 的初值，如取 1.5，即 x₀=1.5。
• (2) 用初值 x₀ 代入方程中计算此时的 f(x₀) 及 f’(x₀)；程序中用变量 f 描述方程的值，用 fd 描述方程求导之后的值。
• (3) 计算增量 h=f/fd。
• (4) 计算下一个x：x=x₀-h。
• (5) 用新产生的 x 替换原来的 x₀，为下一次迭代做好准备。
• (6) 若 |x-x₀|>=1e-5，则转到第(3)步继续执行，否则转到步骤(7)。
• (7) 所求 x 是方程 的根，并将其输出。

下面是完整的代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    /*函数功能是用牛顿迭代法求方程的根*/
    float solution( float a, float b, float c, float d);
    float a, b, c, d, x;  /*a,b,c,d代表所求方程的系数，x用来记录求得的方程根*/
    printf("请输入方程的系数：");
    scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);
    x = solution(a, b, c, d);
    printf("所求方程的根为x=%f", x);
    return 0;
}
float solution(float a, float b, float c, float d)
{
    float x0, x=1.5, f, fd, h;  /*f用来描述方程的值，fd用来描述方程求导之后的值*/
    do
    {
        x0 = x;  /*用所求得的x的值代替x0原来的值*/
        f = a*x0*x0*x0 + b*x0*x0 + c*x0 + d;
        fd = 3*a*x0*x0 + 2*b*x0 + c;
        h = f / fd;
        x = x0 - h;  /*求得更接近方程根的x的值*/
    }
    while(fabs(x-x0) >= 1e-5);
    return x;
}

运行结果：

请输入方程的系数：2 -3 4 -2

所求方程的根为x=0.694146

知识点补充

本程序的编写既可用while(表达式){循环体}也可用do{循环体}while(表达式)，二者得到的结果是一样的，只是在赋初值时稍有不同。while(表达式){循环体}结构需要先判定条件，即先判断 |x-x₀|>=1e-5 是否成立，这样对于 x, x₀ 我们要在 1 附近取两个不同的数值作为初值；do{循环体}while(表达式)结构是先执行一次循环体，得到 x 的新值后再进行判定，这样程序开始只需给 x 赋初值。这里用do{循环体}while(表达式)结构来实现。