问题描述

编写程序，实现如下表所示的5-魔方阵。

问题分析

所谓“n-魔方阵”，指的是使用1〜n2共n2个自然数排列成一个n×n的方阵，其中n为奇数；该方阵的每行、每列及对角线元素之和都相等，并为一个只与n有关的常数，该常数为n×(n2+1)/2。

例如5-魔方阵，其第一行、第一列及主对角线上各元素之和如下：

• 第一行元素之和：17+24+1+8+15=65
• 第一列元素之和：17+23+4+10+11=65
• 主对角线上元素之和：17+5+13+21+9=65

而 n×(n2+1)/2=5×(52+1)/2=65 可以验证，5-魔方阵中其余各行、各列及副对角线上的元素之和也都为65。

假定阵列的行列下标都从0开始，则魔方阵的生成方法为：在第0行中间置1，对从2开始的其余n2-1个数依次按下列规则存放：

(1) 假定当前数的下标为(i，j)，则下一个数的放置位置为当前位置的右上方，即下标为(i-1，j+1)的位置。

(2) 如果当前数在第0行，即i-1小于0，则将下一个数放在最后一行的下一列上，即下标为(n-1，j+1)的位置。

(3) 如果当前数在最后一列上，即j+1大于n-1，则将下一个数放在上一行的第一列上，即下标为(i-1，0)的位置。

(4) 如果当前数是n的倍数，则将下一个数直接放在当前位置的正下方，即下标为(i+1，j）的位置。

算法设计

在设计算法时用了下面一些方法：

• 定义array()函数，array()函数的根据输入的n值，生成并显示一个魔方阵，当发现n不是奇数时，就加1使之成为奇数。
• 使用动态内存分配与释放函数malloc()与free()，在程序执行过程中动态分配与释放内存，这样做的好处是使代码具有通用性，同时提高内存的使用率。

在分配内存时还要注意，由于一个整型数要占用两个内存，因此，如果魔方阵中要存放的数有max个，则分配内存时要分配2*max个单元，从而有malloc(max+max)。在malloc()函数中使用max+max而不是2*max是考虑了程序运行的性能。

显然应该使用二维数组来表示魔方阵，但虽然数组是二维形式的，而由于内存是一维线性的，因此在存取数组元素时，要将双下标转换为单个索引编号。在程序中直接定义了指针变量来指向数组空间，即使用malloc()函数分配的内存。

下面是完整的代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int array(int n)
{
    int i, j, no, num, max;
    int *mtrx;
    if(n%2 == 0)  /*n是偶数，则加1使其变为奇数*/
    {
        n=n+1;
    }
    max=n*n;
    mtrx=(int *)malloc(max+max);  /*为魔方阵分配内存*/
    mtrx[n/2]=1;  /* 将1存入数组*/
    i=0;  /*自然数1所在行*/
    j=n/2;  /*自然数1所在列*/
    /*从2开始确定每个数的存放位置*/
    for(num=2; num<=max; num++)
    {
        i=i-1;
        j=j+1;
        if((num-1)%n == 0)  /*当前数是n的倍数*/
        {
            i=i+2;
            j=j-1;
        }
        if(i<0)  /*当前数在第0行*/
        {
            i=n-1;
        }
        if(j>n-1)  /*当前数在最后一列，即n-1列*/
        {
            j=0;
        }
        no=i*n+j;  /*找到当前数在数组中的存放位置*/
        mtrx[no]=num;
    }
    /*打印生成的魔方阵*/
    printf("生成的%d-魔方阵为:",n);
    no=0;
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        printf("\n");
        for(j=0; j<n; j++)
        {
            printf("%3d", mtrx[no]);
            no++;
        }
    }
    printf("\n");
    free(mtrx);
    return 0;
}
int main()
{
    int n;
    printf("请输入n值:\n");
    scanf("%d", &n);
    array(n);  /*调用array函数*/
    return 0;
}

运行结果：

知识点补充

在解决该问题时，采用的是动态分配内存的方式，并使用了指针变量mtrx来指向二维数组中的元素。在算法设计中，要存储魔方阵需要一个二维数组，因此再给出直接使用二维数组来生成5-魔方阵的程序。

直接使用二维数组生成5-魔方阵的代码如下：

#include<stdio.h>
#define N 5
int main()
{
    int a[N][N]={0}, i, j, k, t, x, y;
    i=0;  /*自然数1的行标*/
    j=N/2;  /*自然数1的列标*/
    t=N-1;  /*最后一行、最后一列的下标*/
    for(k=1; k<=N*N; k++)
    {
        a[i][j]=k;
        x=i;
        y=j;
        if(i == 0)
            i=t;
        else
            i=i-1;
        if(j != t)
            j=j+1;
        else
            j=0;
        if(a[i][j]!=0)
        {
            i=x+1;
            j=y;
        }
    }
    printf("生成的5-魔方阵为：");
    for(i=0; i<N; i++)
    {
        printf("\n");
        for(j=0; j<N; j++)
        {
            printf("%3d", a[i][j]);
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

运行结果：